Componentes Intrínsecas de la Velocidad y la Aceleración
La trayectoria es la curva que dibuja el vector de posición de la partícula 𝑟⃗(t) a lo largo del tiempo.
- El vector desplazamiento 𝑑𝑟⃗(𝑡) es tangente a la trayectoria en un intervalo de tiempo muy corto (dt): 𝑑𝑟⃗(𝑡) = 𝑟⃗(𝑡 + 𝑑𝑡) − 𝑟⃗(𝑡) (m)
- El vector velocidad 𝑣⃗(𝑡), al tener la misma dirección y sentido que el vector desplazamiento 𝑑𝑟⃗(𝑡), también es tangente a la trayectoria, y se calcula derivando este respecto del tiempo: 𝑣⃗(𝑡) = 𝑑𝑟⃗(𝑡)/𝑑𝑡 (m/s)
- La aceleración es el cambio que sufre el vector de velocidad con el tiempo, pudiendo modificar su módulo y dirección.
Suponiendo que solo cambia el módulo de 𝑣⃗
La dirección se mantiene constante, siendo la trayectoria de la partícula recta, por lo que, el vector d𝑣⃗ y, por tanto, el vector aceleración 𝑎⃗, también tendrán la misma dirección que 𝑣⃗. Su módulo se calcula tomando el eje X en la dirección de 𝑣⃗:
𝑣⃗(𝑡) = |𝑣⃗(𝑡)|𝑖̂ ≡ 𝑣(𝑡)𝑖̂
El vector aceleración se calcula derivando este módulo con respecto al tiempo:
𝑎⃗ = 𝑑(𝑣⃗(𝑡))/𝑑𝑡 = 𝑑𝑣(𝑡)/𝑑𝑡 𝑖̂ (m/s²)
Suponiendo que solo cambia la dirección de 𝑣⃗
El módulo del vector permanece constante, siendo la derivada perpendicular al propio vector. Lo mismo ocurre con el vector aceleración (perpendicular a la trayectoria). Para el módulo de la aceleración, supongamos que la partícula realiza un movimiento circular y se mueve de P1 al P2. El triángulo formado por Op1p2 es isósceles, por lo que:
𝑎 = |𝑑𝑣⃗|/𝑑𝑡 = 𝑣/𝑅 ∙ 𝑑𝑠/𝑑𝑡 = 𝑣²/𝑅 ⟹ 𝑎N = 𝑉²/𝑅
Suponiendo que cambian módulo y dirección de 𝑣⃗
Podemos deducir de los 2 casos anteriores que la aceleración tendrá dos componentes (componentes intrínsecas):
- una en la dirección de la velocidad, tangente a la trayectoria y de módulo 𝑎T = 𝑑𝑣/𝑑𝑡
- y otra en la dirección perpendicular al vector velocidad y a la trayectoria, y de módulo 𝑎N = 𝑉²/𝑅.
La aceleración total será la suma de esos dos componentes:
𝑎⃗ = 𝑎⃗T + 𝑎⃗N con módulo 𝑎 = √𝑎T² + 𝑎N²
Sistemas de Referencia en Movimiento Relativo
Las variables de posición, velocidad y aceleración deben estar referidas a un determinado sistema de referencia, y su valor dependerá del sistema elegido. Pero si el valor de las variables cambia en función del sistema de referencia escogido, necesitaríamos poder relacionar esos valores con el sistema.
Supongamos un sistema de referencia S y otro S’, y este último con movimiento cualquiera respecto a S.
El objetivo es relacionar las variables de posición, velocidad y aceleración de una partícula P en los 2 sistemas de referencia.
Imaginemos que una persona A está en nuestro sistema de referencia O a una distancia R de otra persona B que está en el sistema de referencia O’, y ambos observan el movimiento de un objeto P.
Derivando los vectores de posición de la partícula respecto a O y O’ y las del sistema de referencia O’, se obtiene las velocidades y aceleraciones de cada uno siendo:
- 𝑟⃗, 𝑣⃗, 𝑎⃗: vectores del objeto P respecto de la persona A
- 𝑅⃗⃗, 𝑉, 𝐴⃗: vectores de la persona B respecto de la persona A
- 𝑟′, 𝑣′, 𝑎′: vectores del objeto P respecto de la persona B
Entonces, la ecuación que relaciona los vectores de posición es:
𝑟⃗ = 𝑅⃗⃗ + 𝑟′
Derivando la anterior ecuación, se obtiene los vectores de velocidad:
𝑣⃗ = 𝑉⃗⃗ + 𝑣′
Y derivando una vez más se consigue los vectores de aceleración:
𝑎⃗ = 𝐴⃗ + 𝑎′
Estas expresiones solo son válidas cuando O’ se traslada sin rotar con respecto de O. Hay que saber que cuando el sistema de referencia O’ se traslada con una velocidad constante entonces v = cte, por lo que a = a′, es decir, las dos personas A y B medirán la misma aceleración del objeto P. A esto se le denomina “Principio de relatividad clásica” de Galileo.
Teoremas del Momento Lineal y de la Energía
Teorema del Momento Lineal
- El momento lineal de una partícula es el producto de su masa por su velocidad: 𝑝⃗ = 𝑚 ∙ 𝑣⃗
- De acuerdo con la 2ª ley de Newton podemos decir que, 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎 = 𝑚 ∙ 𝑑𝑣⃗/𝑑𝑡 = 𝑑(𝑚∙𝑣⃗)/𝑑𝑡 = 𝑑𝑝/𝑑𝑡 siendo esta la expresión diferencial del teorema del momento lineal, y si multiplicamos todo por dt e integramos, nos queda la siguiente forma, ∆𝑝 = ∫t1t2 𝐹 𝑑𝑡 = 𝐼 donde 𝐼 es el impulso lineal.
- La ecuación indica que aplicar un impulso es cambiar el momento lineal de la partícula.
- De esta expresión también podemos deducir que cuando 𝐹 = 0 entonces 𝑝 = 𝑐𝑡𝑒, denominado “Teorema de la conservación del momento lineal”.
Teorema de la Energía
- Suponiendo que una partícula describe una trayectoria bajo la acción de una fuerza, esa fuerza realizará un trabajo para desplazar dicha partícula de 𝑟 a (𝑟⃗ + 𝑑𝑟⃗ ): 𝑑𝑊 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑟 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜃 = 𝐹T𝑑𝑟
- Para calcular el trabajo total que realiza la fuerza al desplazar la partícula de 1 a 2 se suman todos los trabajos realizados: 𝑊 = ∮r1r2 𝐹⃗⃗ ∙ 𝑑𝑟⃗ (J)
- Por otra parte, la potencia instantánea es el trabajo que realiza una fuerza por unidad de tiempo: 𝑃 = 𝑑𝑊/𝑑𝑡 = 𝐹 ∙ 𝑑𝑟⃗/𝑑𝑡 = 𝐹 ∙ 𝑣 (W)
- La energía cinética se define como: 𝐸c = 1/2 𝑚𝑣² (J)
- Relacionando las dos expresiones anteriores obtenemos la forma diferencial del teorema de la energía: 𝑃 = 𝐹 ∙ 𝑣 = 𝑚 𝑑𝑣⃗/𝑑𝑡 𝑣 = 𝑑/𝑑𝑡 (1/2 𝑚𝑣²) = 𝑑𝐸c/𝑑𝑡
- Si multiplicamos por dt e integramos obtenemos la forma integral del teorema de la energía: ∆𝐸c = 𝐸c2 − 𝐸c1 = ∫𝐸c1𝐸c2 𝑑𝐸c = ∫𝑡1𝑡2 𝑃𝑑𝑡 = ∮𝑟1𝑟2 𝐹⃗ ∙ 𝑑𝑟⃗ = 𝑊
- Se deduce que la energía cinética se conserva si el trabajo se anula: si W = 0, Ec = cte.
Fuerzas Dependientes de la Posición. Fuerzas Conservativas. Energía Potencial. Conservación de la Energía Mecánica.
- Las fuerzas conservativas son aquellas que su trabajo no depende de la trayectoria, sino de las posiciones inicial y final.
- Por ello, existe una función escalar (energía potencial) que representa el trabajo realizado: 𝑊 = ∫𝑥1𝑥2 𝐹⃗(𝑟⃗) ∙ 𝑑𝑟⃗ = −∆𝐸p = 𝐸p(𝑟1) − 𝐸p(𝑟2)
- La elección del origen de energía potencial suele hacerse de manera que el cálculo de dicha energía sea lo más sencillo posible. Por ejemplo:
- Energía potencial elástica en muelles: basada en La ley de Hooke, 𝐹 = −𝑘𝑥, donde “k” es la constante elástica del muelle y “x” la elongación. Integrando entre dos posiciones se obtiene: 𝑊 = ∫𝑥1𝑥2 −𝑘𝑥 𝑑𝑥 = 1/2 𝑘𝑥2² − 1/2 𝑘𝑥1² = −(𝐸p1 − 𝐸p2) suponiendo el origen x1 = 0, queda que: 𝐸p = 1/2 𝑚𝑥².
- Energía potencial gravitatoria: basada en la fuerza gravitatoria, aquella que realiza la superficie terrestre sobre los cuerpos, 𝐹 = −𝑚𝑔 (peso). Integrando entre dos posiciones se obtiene: 𝑊 = ∫𝑥1𝑥2 𝑚𝑔 𝑑𝑧 = 𝑚𝑔𝑧2 − 𝑚𝑔𝑧1 = −(𝐸p1 − 𝐸p2) suponiendo el origen z1=0, queda que: 𝐸p = 𝑚𝑔𝑧
- El trabajo que realiza una fuerza conservativa en un camino cerrado es nula: 𝑾 = 𝟎
- Cuando una partícula está sometida a una fuerza conservativa, su energía cinética y potencial permanecen constantes (conservación de la energía mecánica): 𝑊 = ∆𝐸c = −∆𝐸p
𝐸m = 𝐸c + 𝐸p = 𝑐𝑡𝑒 - Si sobre la partícula actúan fuerzas conservativas y NO conservativas, 𝐹 = 𝐹c + 𝐹nc, tenemos que 𝑊 = 𝑊c + 𝑊nc, y a su vez, 𝑊c = −∆𝐸p y 𝑊 = ∆𝐸c, concluyendo que:
−𝑊nc = ∆𝐸c + ∆𝐸p = ∆𝐸m
– Si Wnc = 0, Em = cte (Teorema de la conservación de la energía): ∆𝐸c = −∆𝐸p