Extremos Absolutos (Dos Variables)
Sea f: D ⊆ R2 → R. Diremos que (x0, y0) ∈ D es un máximo absoluto de f en D si f(x0, y0) ≥ f(x, y) para todo (x, y) ∈ D. Del mismo modo (con ≤) se define mínimo absoluto de f en D.
Supremo e Ínfimo
Sea D ⊂ R un conjunto no vacío y sea a ∈ R. Decimos que a es el supremo de D si a es la menor de las cotas superiores. Decimos que a es el ínfimo de D si a es la mayor de las cotas inferiores.
Teorema del Supremo: Todo conjunto de reales no vacío que tenga cota superior, tiene supremo. Todo conjunto de reales no vacío que tenga cota inferior, tiene ínfimo.
Particiones
Llamamos partición de [a, b] a cualquier conjunto de puntos P = {t0, t1, t2,…, tn} tal que a = t0 < t1 < t2 < … < tn = b.
Integral de Riemann
Decimos que una función f es integrable Riemann (o R-integrable, o simplemente integrable) en [a, b] si α = β. A este valor se le llama integral de f en [a, b] y se denota por ∫ab f.
Teorema Fundamental del Cálculo
Sea f integrable en [a, b] y sea F una función continua en [a, b] y primitiva de f en (a, b) cualquiera. Entonces:
Principio de Cavalieri
Dos cuerpos con la misma altura que tengan igual área en sus secciones planas realizadas a una misma altura, tienen el mismo volumen.
Extremos Locales (Dos Variables)
Sea f: D ⊆ R2 → R. Diremos que (x0, y0), punto interior de D, es un máximo local o relativo de f si existe un δ > 0 tal que f(x0, y0) ≥ f(x, y) para todo (x, y) ∈ B((x0, y0), δ). Del mismo modo (con ≤) se define mínimo local o relativo de f.
Condición Necesaria (Dos Variables)
Sea f: D ⊆ R2 → R diferenciable en (x0, y0) punto interior de D. Si (x0, y0) es un extremo local de f, entonces D1f(x0, y0) = D2f(x0, y0) = 0.
Condición Suficiente (Dos Variables)
Sea f: D ⊆ R2 → R una función con derivadas parciales hasta segundo orden continuas en D. Sea (x0, y0) punto interior de D tal que D1f(x0, y0) = D2f(x0, y0) = 0 (punto crítico). Sea A la matriz Hessiana de f en (x0, y0).
- Si a11 > 0, det(A) > 0, entonces (x0, y0) es mínimo local de f.
- Si a11 < 0, det(A) > 0, entonces (x0, y0) es máximo local de f.
- Si det(A) < 0, (x0, y0) no es máximo ni mínimo local de f (es punto de silla).
- En otro caso (det(A) = 0), no sabemos si (x0, y0) es máximo o mínimo local de f (habría que estudiar las derivadas parciales de orden superior).
Regla de la Cadena (Dos Variables)
Sea el diagrama siguiente de funciones compuestas. Si γ es diferenciable en t0 punto interior de I y f es diferenciable en γ(t0) punto interior de D, entonces la función compuesta g: I ⊂ R → R, g(t) = f(γ(t)) es diferenciable en t0 y su derivada es g‘(t0) = D1f(γ(t0))x‘(t0) + D2f(γ(t0))y‘(t0).
Aplicación de la Regla de la Cadena
Sea f: D ⊆ R2 → R diferenciable en (x0, y0) punto interior de D y sea v = (v1, v2) ∈ R2 un vector unitario. Entonces, la derivada direccional Dvf(x0, y0) puede calcularse como Dvf(x0, y0) = D1f(x0, y0)v1 + D2f(x0, y0)v2. Por definición, la derivada direccional, si llamamos g(h) = f(x0 + hv1, y0 + hv2), entonces Dvf(x0, y0) = limh→0 [g(h) – g(0)] / h = g‘(0). Observemos que g(h) es la composición de f(x, y) con la función γ(h) = (x0 + hv1, y0 + hv2), luego derivando g(h) con la regla de la cadena tenemos que g‘(h) = D1f(x0 + hv1, y0 + hv2)v1 + D2f(x0 + hv1, y0 + hv2)v2, y, tomando h = 0, g‘(0) = D1f(x0, y0)v1 + D2f(x0, y0)v2.
Extremos Locales (Una Variable)
Sea f: D ⊆ R → R. Diremos que x0, punto interior de D, es un máximo local o relativo de f si existe un δ > 0 tal que f(x0) ≥ f(x) para todo x ∈ (x0 – δ, x0 + δ). Ídem mínimo local o relativo.
Condición Necesaria de Extremo Local (Una Variable)
Sea f: D ⊆ R → R diferenciable en x0 punto interior de D. Si x0 es un extremo local de f, entonces f‘(x0) = 0 (x0 es punto crítico de f).
Condición Suficiente
Sea f: D ⊆ R → R n veces diferenciable con f(n) continua en D. Sea x0 punto interior de D tal que f‘(x0) = f»(x0) = … = f(n-1)(x0) = 0, pero que f(n)(x0) ≠ 0, con n ≥ 2.
- Si n es par y f(n)(x0) > 0 entonces x0 es mínimo local de f.
- Si n es par y f(n)(x0) < 0 entonces x0 es máximo local de f.
- Si n es impar entonces x0 no es extremo local de f.
Extremos Absolutos (Una Variable)
Sea f: D ⊆ R → R. Diremos que x0 ∈ D es un máximo absoluto de f en D si f(x0) ≥ f(x) para todo x ∈ D. Del mismo modo (con ≤) se define mínimo absoluto de f en D.