Ejercicios Resueltos de Lógica Proposicional
Ejercicio 1
Si digo siempre la verdad (p), entonces los demás confían en mí (q). Si los demás confían en mí (q), me siento seguro (r) e independiente (s). Cuando me siento seguro e independiente (r ∧ s), soy capaz de afrontar cualquier problema (t). Como yo digo siempre la verdad (p), se deduce que soy capaz de afrontar cualquier problema (t).
Formalización y Demostración:
- p → q (Premisa)
- q → (r ∧ s) (Premisa)
- (r ∧ s) → t (Premisa)
- p (Premisa)
- q (Modus Ponens 1, 4)
- (r ∧ s) (Modus Ponens 2, 5)
- t (Modus Ponens 3, 6)
Ejercicio 2
Si se estructura la historia desde el punto de vista de la parapsicología (p), entonces los hechos se interpretarán como consecuencia de premoniciones (q). Pero los hechos no pueden interpretarse así (¬q), por tanto, la historia no se puede estructurar desde las afirmaciones de la parapsicología (¬p).
Formalización y Demostración:
- p → q (Premisa)
- ¬q (Premisa)
- ¬p (Modus Tollens 1, 2)
Ejercicio 3
Si fueras un mandarín de la China (p), vivirías con lujo (q) y no tendrías que trabajar (¬r). Y si vivieses de esa manera (q ∧ ¬r), te distraerías haciendo viajes alrededor del mundo (s) o alimentando a los faisanes de tu majestuoso palacio (t). Como no es el caso que te distraigas con tales cosas (¬(s ∨ t)), deduzco que no eres un mandarín de la China (¬p).
Formalización y Demostración:
- p → (q ∧ ¬r) (Premisa)
- (q ∧ ¬r) → (s ∨ t) (Premisa)
- ¬(s ∨ t) (Premisa)
- ¬(q ∧ ¬r) (Modus Tollens 2, 3)
- ¬p (Modus Tollens 1, 4)
Ejercicio 4
Si es cierto que Miguel Ángel pintó la Capilla Sixtina («Miguel Ángel fue pintor» = p) y que Miguel Ángel esculpió el Moisés («Miguel Ángel fue escultor» = q), entonces también será cierto que Miguel Ángel fue pintor y escultor (q ∧ p).
Formalización y Demostración:
- p ∧ q (Premisa)
- q ∧ p (Conmutatividad 1)
Ejercicio 5
Si el páncreas no segrega la suficiente insulina (¬p), aparecen síntomas de diabetes (q). Y si la glándula suprarrenal produce adrenalina en exceso (r), sucedería lo mismo (q). En este caso, no aparecen síntomas de diabetes (¬q). De ahí, que el páncreas segrega la suficiente insulina y que la glándula suprarrenal no se excede en sus funciones (p ∧ ¬r).
Formalización y Demostración:
- ¬p → q (Premisa)
- r → q (Premisa)
- ¬q (Premisa)
- ¬r (Modus Tollens 2, 3)
- p (Modus Tollens 1, 3)
- p ∧ ¬r (Conjunción 5, 4)
Ejercicio 6
Si es cierto que Aristóteles escribió obras de lógica y de metafísica (p ∧ q), también es cierto que escribió obras de metafísica y lógica (q ∧ p).
Formalización y Demostración:
- p ∧ q (Premisa)
- q ∧ p (Conmutatividad 1)
Ejercicio 7
Si las lipasas y las fosfatasas son enzimas (p ∨ q), tienen naturaleza proteínica (r). Y si tienen naturaleza proteínica (r), se destruyen con el calor, las radiaciones y los ácidos (s ∧ t ∧ u). Las fosfatasas y las lipasas son (p ∨ q), en efecto, enzimas, luego se destruyen con las radiaciones, los ácidos y el calor (t ∧ u ∧ s).
Formalización y Demostración:
- (p ∨ q) → r (Premisa)
- r → (s ∧ t ∧ u) (Premisa)
- (p ∨ q) (Premisa)
- r (Modus Ponens 1, 3)
- (s ∧ t ∧ u) (Modus Ponens 2, 4)
- (t ∧ u ∧ s) (Conmutatividad 5)
Ejercicio 8
O jugamos todos o rompemos la baraja (p ∨ q). Si rompemos la baraja, nos aburriremos todos o tendremos que comprar otra (q → (r ∨ s)). Os negáis a que juguemos todos (¬p), luego compramos una baraja nueva o nos aburrimos (s ∨ r).
Formalización y Demostración:
- p ∨ q (Premisa)
- q → (r ∨ s) (Premisa)
- ¬p (Premisa)
- q (Silogismo Disyuntivo 1, 3)
- (r ∨ s) (Modus Ponens 2, 4)
- (s ∨ r) (Conmutatividad 5)
Ejercicio 9
Examinarán las pruebas y me juzgarán (p ∧ q). Cuando examinen las pruebas (p), si aparezco como culpable, me condenarán (r → s). Cuando me juzguen, si me condenan es que he aparecido como culpable (q → (s → r)). Por tanto, me condenarán si y solo si aparezco como culpable (s ↔ r).
Formalización y Demostración:
- p ∧ q (Premisa)
- p → (r → s) (Premisa)
- q → (s → r) (Premisa)
- q (Simplificación 1)
- (s → r) (Modus Ponens 3, 4)
- p (Simplificación 1)
- (r → s) (Modus Ponens 2,6)
- (s ↔ r) (Bicondicional 5,7)
Ejercicio 10
Solo en el caso que se respeten los derechos humanos (p), Morgan salvará el pellejo (q). Y solo si Morgan salva el pellejo (q), podrá soplarme dónde guardó el botín (r). Si me lo dice (r), o lo hallo intacto (s) o Spencer se me habrá adelantado (t), volveré a mi antiguo empleo de vendedor ambulante (u). Supongamos que se respetan los derechos humanos (p) y que no hallo intacto el botín (¬s)… Ya me estoy viendo, de nuevo, vendiendo peines por esas calles (u).
Formalización y Demostración:
- p → q (Premisa)
- q → r (Premisa)
- r → (s ∨ t) (Premisa)
- u (Premisa)
- p ∧ ¬s (Premisa)
- p (Simplificación 5)
- q (Modus Ponens 1, 6)
- r (Modus Ponens 2, 7)
- s ∨ t (Modus Ponens 3, 8)
- ¬s (Simplificación 5)
- t (Silogismo Disyuntivo 9, 10)
Ejercicio 11
Si se aplican métodos efectivos de higiene (p), disminuyen las enfermedades contagiosas (q). Si la gente está bien alimentada (r), aumentan las expectativas de vida (s). En este país se están aplicando métodos efectivos de higiene (p) y la población está bien alimentada (r), luego no es cierto que si disminuyen las enfermedades contagiosas no aumenten las expectativas de vida (¬(q → ¬s)).
Formalización y Demostración:
- p → q (Premisa)
- r → s (Premisa)
- p ∧ r (Premisa)
- p (Simplificación 3)
- q (Modus Ponens 1, 4)
- r (Simplificación 3)
- s (Modus Ponens 2, 6)
- q ∧ s (Conjunción 5, 7)
- ¬(q → ¬s) (Equivalencia 8)
Ejercicio 12
En una situación de crisis económica (p), el índice de natalidad disminuye (q). Si avanza la medicina (r), las expectativas de vida sobrepasan los 70 años (s). Si el índice de natalidad desciende (q) y las expectativas de vida superan los 70 años (s), entonces, en cuestión de unas décadas (t), se obtiene una sociedad donde predominan las personas maduras (u). La crisis económica es un hecho (p) y los avances de la medicina son continuos (r). En consecuencia, no es pensable que pasen unas décadas y no tengamos una sociedad anciana (¬(t ∧ ¬u)).
Formalización y Demostración:
- p → q (Premisa)
- r → s (Premisa)
- (q ∧ s) → (t → u) (Premisa)
- p ∧ r (Premisa)
- p (Simplificación 4)
- q (Modus Ponens 1, 5)
- r (Simplificación 4)
- s (Modus Ponens 2, 7)
- q ∧ s (Conjunción 6, 8)
- (t → u) (Modus Ponens 3, 9)
- ¬(t ∧ ¬u) (Equivalencia 10)
Ejercicio 13
Las ciencias o son fácticas (p) o son formales (q). Si son fácticas (p), comprueban sus enunciados empíricamente (r). Si son formales (q), demuestran sus enunciados a partir de los axiomas del sistema (t). En consecuencia, los enunciados de las ciencias o se comprueban empíricamente o se demuestran mediante los axiomas (r ∨ t).
Formalización:
- Premisa 1: p ∨ q
- Premisa 2: p → r
- Premisa 3: q → t
- Conclusión: r ∨ t