Ejercicios resueltos de matemáticas financieras: interés compuesto, valor futuro y anualidades

Problema N° 1

Un excelente estudiante de la Universidad SANTA MARÍA obtuvo un crédito fiscal anual de UF 150 al inicio de cada año académico para financiar sus estudios y ser un gran profesional.

Se pide:

a) ¿Cuánto será su deuda al término de su exitosa carrera?

b) ¿Cuánto deberá pagar anualmente a partir del segundo año que con honores se tituló de su carrera, considerando una tasa de interés anual efectiva trimestral del 1,25%, con un plazo de 10 años?

Desarrollo

1.- Determinar la tasa de descuento:

a) TEPC mes = (1 + Te trimestral)<sup>1/n</sup> - 1





 = 0,0041494

b) Dado un TEPC encontrar la TEA

TEA = (1 + TEPC)<sup>n</sup> - 1

TEA = (1,0041494)<sup>12</sup> - 1 = 0,05094

2.- Dado una anualidad encontrar un valor futuro

F, A, %, N

F = A [(1 + i)<sup>n</sup> - 1] / i

F = 150 [(1,05094)<sup>5</sup> - 1] / 0,05094

150 x 5,536016486 = 830,40

3.- Cuánto debe cancelar anualmente, a partir del segundo año, que se recibió

a) Dado un valor presente, encontrar un valor futuro

P = (1 + i)<sup>n</sup> = 830,40 (1,05094)<sup>1</sup> = 872,70

b) Dado del valor de deuda, encontrar la anualidad o cuota de pago

A, P, %, N

A = P [(1 + i)<sup>n</sup> x i] / [(1 + i)<sup>n</sup> - 1]

Cuota = 872,70 [(1,05094)<sup>10</sup> x 0,05094] / [(1,05094)<sup>10</sup> - 1]

Cuota = 872,70 x 0,130096409 = UF 113,5355

Problema N° 2

La señorita Viviana necesita recursos monetarios para financiar su viaje y estadía de sus vacaciones del año 2011, por un monto de US$ 5.000.- que se ha comprometido a cancelar en 15 meses, la primera cuota se cancela a los 180 días de otorgado el crédito.

Se pide:

a) ¿Cuál es el monto de cada pago mensual, si la tasa efectiva anual es del 15%?

Desarrollo

1.- Primero determinar la Tasa Efectiva del Periodo de Capitalización (TEPC)

Dado una Tasa Efectiva anual

TEPC = (1 + TEA)<sup>1/n</sup> - 1 = 


TEPC = (1,15)<sup>1/12</sup> - 1 = 
 = 1,17%

2.- Como la primera cuota se debe cancelar a 180 días, o 6 meses

Dado un valor presente se debe encontrar, un valor futuro, el que es el periodo, pero como se debe cancelar con mes vencido, se debe considerar el periodo total menos 1, ósea 6 meses menos 1 = 5

F = p (1 + i)ⁿ

F = 5.000 (1,0117)⁵ = 5.300.- (se redondeó, era 5.299,4)

3.- Dado un valor presente o monto de la deuda, se debe determinar el valor de la cuota o anualidad

A = P [(1 + i)ⁿ x i] / [(1 + i)ⁿ – 1]

Cuota = 5.300 [(1,0117)¹⁵ x 0,0117] / [(1,0117)¹⁵ – 1]

Cuota = U$$ 5.300 x 0,073075943 = U$$ 387,03

¿Cuánto se debe cancelar, la totalidad del préstamo incluida la cuota décima?

Desarrollo

1.- Primero debemos determinar el valor F_n, n es el total de periodos del préstamo, o en otras palabras, cual es el valor final, sino se ha cancelado ninguna cuota, además también, nos sirve para determinar una cantidad de futura dado una cantidad de cuotas. Además debemos determinar el valor futuro incluido la cuota que deseamos cancelar.

F, A, %, N

a) Formulas

F<sub>n</sub> = A [(1 + i)<sup>n</sup> - 1] / i

.n = Es el plazo total o número de cuotas, para cancelar el préstamo

F<sub>n</sub> = A [(1 + i)<sup>n</sup> - 1] / i

.n = número de periodos que se desea cancelar

b) F₁₅ = 387,05 [(1,0117)¹⁵ – 1] / 0,0117

387,05 x 0,190628433 / 0,0117

387,05 x 16,2930 = 6.306,21

F<sub>12</sub> = 387,05 [(1,0117)<sup>12</sup> - 1] / 0,0117

387,05 x 12,80312364 = 4.955,44

Determinación del total de amortización de capital,

F₁₂ / F₁₅ x Préstamo = 4.955,44 / 6.306,21

78,58% porcentaje de amortización capital

0,7858 x 5.300 = 4.164,76

Saldo Insoluto = Préstamo – amortización de capital.-

5.300 - 4.164,76.- = 1.135,24

Más cuota n° 12 387,05

Total a Pagar 1.522,29

Otra forma = Saldo insoluto anterior (cuota 11) más el interés de la cuota 12

F<sub>11</sub> = 387,05 [(1,0117)<sup>11</sup> - 1] / 0,0117 = 4.515,57

Amortización de capital

F₁₁ / F₁₅ x Préstamo = 4.515,57 / 6.306,21 x 5.300 = 3.795,07

Saldo Insoluto = Préstamo – amortización de capital.-

5.300 - 3.795,07.- = 1.504,93

Mas interés cuota n° 11

Saldo Insoluto x Interés 1.504,97 x 0,0117 = 17,36

Total a Pagar 1.522,29

Ambas formas de cálculo dan el mismo valor

¿Cuánto corresponde a interés en la cuota 8va?

Formula A (cuota) – A / (1 + i)^n-c

Donde: n = periodo total

c = Periodo transcurrido

387,05 - 387,05 / (1,0117)<sup>15-8</sup>

387,05 - 356,78 = 30,27

Problema N° 3

Usted ha recibido tres ofertas por la adquisición de su propiedad:

a) $ 15.000.000.- al contado

b) $ 7.125.000.- al contado y $ 1.875.000.- trimestralmente durante 2 años

c) $ 750.000.- por trimestre anticipado durante 4 años y pago de $ 9.375.000.- al finalizar el cuarto año

¿Qué oferta debe preferir Ud. si su tasa alternativa de fondos es del 12% efectiva anual?

Desarrollo: Para determinar cual es la mejor oferta, se debe comparar valores presente, ósea todas las oferta llevada al valor presente o periodo 0.

$ 15.000.000.- Contado

$ 7.125.000.- al contado y $ 1.875.000.- trimestralmente durante 2 años

Como la tasa alternativa de fondos, es una tasa efectiva anual TEA, y los pagos son trimestrales, se debe determinar, la tasa efectiva del periodo de capitalización TEPC._Trimestral

TEPC = (1 + TEA)^1/n – 1 =

TEPC = (1,12)^1/4 – 1 = = 0,02873

Dado una anualidad o cuota, se debe determinar el valor presente

P = Cuota [(1 + i)ⁿ – 1] / [(1 + i)ⁿ x i]

.n Número de periodo, son 2 años, como el año tiene 4 trimestre, el periodo (n) es 8

Valor Presente = 1.875.000 [(1,02873)⁸ – 1] / [(1,02873)⁸ x 0,02873]

1.875.000.- X 7,05745 = 13.232.722

Valor Presente = 13.232.722.-

Más valor contado 7.125.000.-

Valor oferta b 20.357.722.-

=========

c) $ 750.000.- por trimestre anticipado durante 4 años y pago de $ 9.375.000.- al finalizar el cuarto año

Dado una anualidad o cuota, se debe determinar el valor presente, como son trimestrales, utilizaremos la misma tasa determinada en la oferta b), el n son 4 año x trimestre = 4 x 4 = menos 1 ya que la primera es anticipada, se transforma en pie o contado, por lo tanto el periodo es 15

P = 750.000 [(1,2873)¹⁵ – 1] / [(1,02873)¹⁵ x 0,02873] = 9.037.493

Además el valor futuro $ 9.375.000.- debe ser calcular el valor presente, hay dos alternativas.

P = F / (1 + i)ⁿ

Alternativa 1 (utilizar tasa trimestral)

P = 9.375.000.- / (1,02873)¹⁶ = 5.958.663

Alternativa 2 (utilizar la tasa anual, ya que los recurso se perciben al finalizar el cuarto año

P = 9.375.000.- / (1,15)⁴ = 5.958055

Resumen alternativa c

Pie o cuota contado $ 750.000.-

Valor presente de las 15 cuotas $ 9.375.493.-

Valor futuro llevado a presente $ 5.958.663.-

Total alternativa ————-

ALTERNATIVA C $ 15.746.156.-

=========

La mejor alternativa es la b, $ 20.357.722.-

Problema N° 4

Usted se sacó el Kino por un valor de UF 15.000.- y piensa adquirir un taxi bus, piensa manejarlo Ud, para lo cual debe abandonar su actual empleo, si su premio lo depositara en el banco le daría un interés del 8% anual, y en su actual empleo Ud. gana UF 5.500.- al año. El taxi bus le daría ingresos netos anuales de UF 11.316.-

Se pide:

a) ¿Cuánto debería ser la vida útil mínima del taxi bus para compensar realizar la inversión?

b) Suponga ahora que Ud. sabe que si Ud. mismo opera su propio taxi bus, este tendrá una vida útil de 8 años en funcionamiento. Por otra parte, Ud. tiene la posibilidad de contratar un conductor, pero en dicho caso el taxi bus tendría una duración de solo 4 años.

¿Cuánto le debería cancelar anualmente al conductor para que le de lo mismo contratarlo que operar el taxi bus Ud. mismo

Para facilitar los cálculos suponga que todos los flujos de dinero ocurren a fin de cada año.

Desarrollo

¿Cuánto debería ser la vida útil mínima del taxi bus para compensar realizar la inversión?

VAN = – Inversión + SUMATORIA Flujo de Caja Neto / (1+ i)ⁿ

Si los flujos de caja son constantes, se trasforman en anualidades, y dado anualidades, para encontrar el valor presente, se utiliza la formula,

VAN = – INVERSION + Flujo Neto de Caja [(1 + i)ⁿ – 1] / [(1 + i)ⁿ X i]

Los Flujos Neto de Caja, están constituidos por:

Los Ingreso netos 11.316.-

menos el sueldo, (ya que deje el trabajo) 5.500.-

Flujo Neto de Caja 5.816.-

La Inversión, es el premio 15.000.-

La tasa de descuento, es la que obtendría al depositar el premio. Que es el 8% anual

Reemplazamos la formula

VAN = – 15.000 + 5.816 [(1,08)ⁿ – 1] / [(1,08)ⁿ X 0,08] = 0

La incógnita es el periodo

Hay dos formas de resolverlo, iterando o por prueba y error

Utilizaremos la forma prueba y error

15.000 / 5.816 = [(1,08)ⁿ – 1] / [(1,08)ⁿ X 0,08]

2,5790 = PRUEBA Y ERROR

AÑOS VALOR

5 3,9927

4 3,3123

3 2,5790

El periodo es 3 años,

b) Suponga ahora que Ud. sabe que si Ud. mismo opera su propio taxi bus, este tendrá una vida útil de 8 años en funcionamiento. Por otra parte, Ud. tiene la posibilidad de contratar un conductor, pero en dicho caso el taxi bus tendría una duración de solo 4 años.

¿Cuánto le debería cancelar anualmente al conductor para que le de lo mismo contratarlo que operar el taxi bus Ud. mismo

Primero, cual es el Van si UD opera el Taxi Bus.

VAN = – INVERSION + Flujo Neto de Caja [(1 + i)ⁿ – 1] / [(1 + i)ⁿ X i]

Flujo Neto de Caja = Ingresos Netos = 11.316.-

Menos Sueldo 5.500.-

FLUJO NETO DE CAJA 5.816.-

======

VAN = – 15.000.- + 5.816.- [(1,08)⁸ – 1] / [(1,08)⁸ X 0,08]

VAN = – 15.000.- 5.816.- X 5,746638976 = 18.422,45

Cuanto le debería cancelar al chofer y obtener el mismo VAN que conducirá Ud. Mismo el Taxi Bus

(Ing - Sueldo)

VAN= – 15.000.- + (11.316 – X) [(1,08)⁴ – 1] / [(1,08)⁴ X 0,08] = 18.422,45

VAN = (11.316.- – X) x 3,312123557 = 18.422,45 + 15.000.-

VAN = + 37.480 – 3,312123557 X = 33.422,45

VAN – 3,312123557 X = 33.422,45 – 37.480

VAN = – X = – 4.057,55 / 3,312123557 / – 1

VAN = X = 1.225,06 Sueldo a cancelar al chofer

COMPROBACION

VAN = – 15.000.- + (11.316.- – 1.225,06) [(1,08)⁴ – 1] / [(1,08)⁴ X 0,08]

10.090,84

VAN = – 15.000.- + 10.090,84 x 3,312123557 =

VAN = – 15.000.- 33.422,45

VAN = 18.422,45 ídem si Ud. conducirá el taxi bus

Problema N° 5

El señor Iván Traga Fuego se propone empezar a ahorrar todos los años el incentivo que le otorga la empresa una vez al año, este incentivo corresponde al 15% de su renta anual. En el día de hoy recibió UF 150 de incentivo y le pidió a su señora que fuera al banco Traga Monedas a depositarlo, donde le ofrecieron una tasa de interés real de 8% capitalizable semestralmente. El señor Traga Fuego cree que se jubilara dentro de 15 años.

¿Cuánto recursos tendrá el señor Traga Fuego, el día de su jubilación?

1.- Tasa de Interés = 8% capitalizables semestralmente. ósea es una tasa nominal, ya que dice capitalizable, y no efectiva

TEPC_semestral = TASA NOMINAL / N = 0,08 / 2 = 4 %

Como los depósitos son anuales, se debe utilizar la tasa efectiva anual (TEA)

TEA = (1 + TEPC)ⁿ – 1 = (1,04)² – 1 = 0,0816

Los depósitos son constante, utilizaremos, dado un a, encontrar un valor final

F, a, %, n

F = 150 [(1,0816)¹⁵ – 1] / 0,0816

150 x 27,492654 = 4.123,89

Saldo al jubilar = 4.123,89

¿Cuánto podría retirar anualmente del banco Traga Moneda, a partir de un año después que se jubile, por 10 años seguidos

Como los retiros son a partir de 1 año después de que se jubile, dado un valor presente encontrar un valor futuro

F = P (1 + i)ⁿ = 4.123,89 (1,9816)¹ = 4.460,40

Dado un valor presente, encontrar la anualidad o los retiros

Retiros = P [(1,0816)¹⁰ x 0,0816] / [(1,0816)¹⁰ – 1]

4.460,40 X 0,15010677 = 660,54 UF

Los retiros que puede realizar son 660,54 UF anuales

Problema N° 6

¿Qué cantidad igual se debe depositar al año, durante 20 años, con el fin de permitir retiros de $10.000.- al final del tercer año, $ 20.000.- año final del sexto año y $ 30.000.- año final del décimo año?

La tasa de interés es de 4% efectiva semestral.

Desarrollo

1.- Que cantidad de retiros al final del 20 ava años

TEPC_semestral = 4 %

Como los retiros son anuales, se debe determinar la TEA

TEA = (1 + TEPC_semestral)ⁿ – 1 = (1,04)² – 1 = 0,0816

10.000 20.000 30.000 F

Retiros ————-/———————-/——————/————————/

3 6 10 20

Valores presente, llevar a valor final

1.- 10.000 (1,0816)¹⁷ = 37.943

2.- 20.000 (1,0816)¹⁴ = 59.974

3.- 30.000 (1,0816)¹⁰ = 65.734

VALOR FUTURO DE LOS RETIRO 163.651

DADO UN VALOR FUTURO ENCONTRAR UNA ANUALIDAD

A = F [i] / [(1 + i)<sup>n</sup> - 1]

A = 163.651 [0,0816] / [(1,0816)<sup>20</sup> - 1]

163.651 x 0,021467918 = 3.515.-

Los depósitos que debe realizar son de $ 3.515.-

Comprobación, dado una anualidad encontrar un valor futuro

F = 3.515 [(1,0816)<sup>20</sup> - 1] / 0,0816

F = 3.515.- 46,58113515 = 163.651.-

LEER CON MUCHO CUIDADO Y QUE LES VAYA SUPER BIEN

RIT/ JULIO 2017