Ley de Coulomb
En 1785, el físico francés Charles-Augustin de Coulomb enunció la ley que describe la fuerza entre dos cargas eléctricas en el vacío. Esta ley establece que la fuerza es:
- Directamente proporcional al producto de las cargas: A mayor carga, mayor fuerza.
- Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa: A mayor distancia, menor fuerza.
La línea de acción de la fuerza coincide con la línea que une ambas cargas. Para dos cargas puntuales q y q’, la fuerza que ejerce q sobre q’ se escribe:
Fq’ = [k·(qq’)]/r2 (con carácter vectorial)
Esta fuerza es repulsiva si ambas cargas tienen el mismo signo, y atractiva si tienen signos opuestos. La constante k que aparece en la ecuación es igual a:
k = 1/(4πε0) = 9 x 109 N(m2)/C2
donde ε0 es la permitividad eléctrica del vacío (ε0 = 8,85 x 10-12 C2/N(m2)).
Principio de Superposición
Para calcular la fuerza electrostática sobre una carga puntual por un conjunto de cargas puntuales o un sólido cargado, aplicamos el principio de superposición.
- En el caso de un sistema de cargas puntuales: La fuerza total sobre la carga q’ será la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por cada una de las N cargas.
- En el caso de un sólido cargado: Dividimos el sólido en elementos de carga infinitesimales dq y realizamos la suma de todos ellos (integral). En general, dq = ρ x dT, siendo ρ la densidad volumétrica de carga y dT el volumen infinitesimal del elemento. Si el sólido es una lámina de espesor despreciable, dq = σ x dS, donde σ es la densidad superficial de carga y dS la superficie infinitesimal de cada elemento. Si el sólido es filiforme, dq = λ x dl, donde λ es la densidad lineal de carga y dl la longitud infinitesimal de cada elemento de carga.
Campo Electrostático
Cuando situamos una carga eléctrica en un punto, el espacio que la rodea se modifica. En cada punto del espacio podemos definir un vector: el cociente entre la fuerza y la carga de prueba q’. Queda así definido un campo vectorial denominado campo electrostático, que para una carga puntual se escribe:
E = Fq’/q’ = k x (q/r2)
De esta forma, cuando colocamos una carga q’ a una cierta distancia de q, la interacción no se produce directamente entre q y q’, sino entre el campo electrostático generado por q y q’, verificando Fq’ = q’E.
Principio de Superposición para el Campo Eléctrico
Para calcular el campo eléctrico producido por un conjunto de N cargas puntuales o por un sólido cargado, aplicamos el principio de superposición:
- Para el conjunto de N cargas: Aplicamos el sumatorio de Ei para N, empezando por i = 1, siendo Ei el campo eléctrico de cada carga. Ei = k x (qi/ri2).
- Para el sólido cargado: Integramos dE = k x dq/r2 respecto a todo el sólido.
Las líneas de campo electrostático son una representación gráfica del campo. El vector E es tangente a las líneas de campo, y su intensidad es mayor donde las líneas están más juntas.
Energía Potencial Asociada a una Carga Puntual
La fuerza eléctrica que ejerce una carga puntual Q, que suponemos fija y en el origen de coordenadas, sobre otra carga puntual q viene dada por la ley de Coulomb: F = (k·Qq)/r2.
Supongamos que la carga q sufre un desplazamiento infinitesimal dl desde la posición definida por r. El trabajo que realiza la fuerza eléctrica F sobre q, originada por la carga Q, es:
dW = F·dl = F·dl·cosθ = F x dr = (k·Qq)/r2 dr
Obsérvese que el trabajo depende únicamente de dr, el desplazamiento en la dirección radial. Si el desplazamiento es finito desde una posición r1 hasta una posición r2, basta con sumar los trabajos infinitesimales a lo largo de todo el recorrido.
W = -ΔEp = Ep(r1) – Ep(r2)
Se observa que el trabajo realizado por la fuerza eléctrica que actúa sobre q, cuando ésta se ha desplazado desde r1 hasta r2, no depende de la trayectoria concreta que ha descrito, sino solamente de sus posiciones inicial y final. Este resultado muestra que la fuerza electrostática entre dos cargas puntuales es conservativa, y el valor del trabajo realizado por la fuerza electrostática, cambiado de signo, es por definición el incremento de energía potencial electrostática de la carga puntual q.
Para definir un origen de energías potenciales se establece un punto r1 en el que se coloca el origen de energía potencial (energía potencial cero). La energía potencial en cualquier punto del espacio (r = r2) es entonces el trabajo que realiza una fuerza externa contra el campo para llevar a la partícula de forma cuasiestática desde el origen de energía potencial (r1) hasta el punto en cuestión. Normalmente se toma el origen de energía en aquella posición r1 en la que la expresión de la energía potencial en cualquier punto del espacio tome la forma más sencilla posible. En este caso se simplifica si tomamos Ep = 0 cuando r1 → ∞, es decir, Ep(∞) = 0 → Ep(r) = k(Qq)/r.
Potencial Eléctrico
En electrostática se utiliza con mayor frecuencia el concepto de energía potencial eléctrica por unidad de carga, o potencial eléctrico, V, es decir:
V = Ep/q
El potencial eléctrico expresa la energía potencial que tendrá una carga unidad positiva si se sitúa en una determinada posición. El potencial eléctrico se mide en Julios por Culombio (J/C), que se conoce como Voltio.
La diferencia de potencial entre dos puntos del espacio situados a unas distancias r1 y r2 de una carga puntual Q es:
ΔV = V(r2) – V(r1) = ΔEp/q = KQ(1/r2 – 1/r1)
Y si definimos un origen para el potencial eléctrico del mismo modo que para la energía potencial, es decir, V = 0 cuando r es infinito, tenemos la expresión:
V(r) = kQ/r
Para expresar el potencial eléctrico creado en un punto P dado por una distribución de carga es necesario conocer la expresión del campo eléctrico E en esa región del espacio y después integrar esa expresión para un desplazamiento finito dado y, si se desea, asignar un origen al potencial.
ΔEp = qΔV
El lugar geométrico de los puntos del espacio en los que V toma el mismo valor recibe el nombre de superficie equipotencial (para una carga Q son esferas concéntricas centradas en la posición de ésta). El potencial (campo escalar) tiene la propiedad de que su derivada direccional es el campo eléctrico, es decir, el campo eléctrico apunta en la dirección de más rápida disminución del potencial eléctrico. El campo eléctrico generado por esta carga es radial y decrece con el cuadrado de la distancia a ella. La componente radial del campo se obtiene como la derivada del potencial a lo largo de la dirección radial: E = -dV/dr. Si una carga positiva se libera en cualquier posición del espacio, la fuerza eléctrica sobre ella tendrá la dirección y sentido del campo eléctrico y, por tanto, se moverá hacia lugares de potencial eléctrico menor.
Dipolo Eléctrico en un Campo Eléctrico
Un dipolo eléctrico es un sistema formado por dos cargas iguales y de signo opuesto (+q, –q) separadas por una distancia L. Se caracteriza por el momento dipolar eléctrico p, cuyo módulo vale qL y que apunta de la carga negativa a la positiva.
Un campo eléctrico externo uniforme E no ejerce una fuerza neta sobre el dipolo, ya que la fuerza que ejerce el campo sobre la carga positiva es igual y opuesta a la fuerza sobre la carga negativa. Por tanto, no existe fuerza neta sobre el dipolo eléctrico debido al campo eléctrico uniforme exterior.
Sin embargo, el campo eléctrico externo produce un momento de torsión que tiende a alinear el dipolo en la dirección del campo eléctrico. El momento de torsión total que actúa sobre el dipolo será la suma de los momentos debidos a las dos fuerzas F+ y F–, que indica que el momento es perpendicular al plano del papel y dirigido hacia dentro, de forma que el momento dipolar p tiende a situarse en la dirección de E.
Si dejamos que el dipolo gire un ángulo dθ impulsado por el momento de torsión producido por el campo eléctrico externo, éste realiza un trabajo:
dW = -Modθ = -pEsenθdθ = -dEp
El primer signo menos se debe a que el momento tiende a disminuir θ. Integrando la última igualdad se obtiene la energía de orientación de un dipolo eléctrico en un campo externo uniforme:
Ep=-pEcosθ=-pE