Espacios Métricos y Aplicaciones Lineales: Teoremas y Proposiciones Clave

Teoremas y Proposiciones Fundamentales en Espacios Métricos y Aplicaciones Lineales

1.1 Teorema de la Aplicación Lineal Acotada

Sea L : V → W una aplicación lineal entre dos espacios lineales normados. Son equivalentes las siguientes afirmaciones:

1. L es **acotada**.
2. L es **uniformemente continua**.
3. sup{kLxk : x ∈ S(0V , 1)} < ∞

Demostración:

Sea L acotada y M > 0 tal que kLxk ≤ Mkxk para todo x ∈ V. Dado ε > 0, tomamos δ = ε/M. Entonces kxk < δ implica kLxk < ε, luego L es continua en 0V y, por tanto, uniformemente continua. Sea L continua, entonces para ε = 1 existirá δ > 0 tal que kyk ≤ δ implica kLyk ≤ 1. Si x ∈ S(0V , 1), notar que kxk = 1 implica kδxk = δ, por tanto δkLxk = kL(δx)k ≤ 1 o bien kLxk ≤ 1/δ para todo x ∈ S(0V , 1), luego sup{kLxk : x ∈ S(0V , 1)} ≤ 1/δ < ∞. Finalmente, sea M = sup{kLxk : x ∈ S(0V , 1)}, dado x ∈ V es claro que x/kxk ∈ S(0V , 1) por tanto 1/kxk kLxk = kL(x/kxk)k ≤ M o bien kLxk ≤ Mkxk, es decir L acotada.

1.2 Corolario del Homeomorfismo Lineal

Sea L : V → W una aplicación lineal entre dos espacios lineales normados tal que L(V ) = W, entonces L es un **homeomorfismo lineal** si y sólo si existen m, M > 0 tal que mkxk ≤ kLxk ≤ Mkxk para todo x ∈ V.

Demostración:

Si L es un homeomorfismo lineal, la continuidad de L implica que existe M > 0 tal que kLxk ≤ Mkxk. Análogamente, si L^-1 es continua, sea x = L^-1(y) entonces existe r > 0 tal que kxk = kL^-1(y)k ≤ rkyk, pero y = Lx y m = 1/r implican mkxk ≤ kLxk. Recíprocamente, notar que mkxk ≤ kLxk implica que L es inyectiva y por tanto una biyección: en efecto, Lx = 0W implica kxk = 0 y por tanto x = 0V , es decir Ker(L) = {0V }, además para L^-1 y = x se tiene mkL^-1yk ≤ kLL^-1yk = kyk o bien kL^-1yk ≤ 1/m kyk para todo y ∈ W, es decir L^-1 es acotada y por tanto continua, la desigualdad kLxk ≤ Mkxk implica la continuidad de L y concluimos que L es un homeomorfismo lineal.

Dos normas k · k1 y k · k2 sobre un espacio lineal V se dirán **equivalentes** si idV : (V, k · k1) → (V, k · k2) es un homeomorfismo lineal, entonces se sigue.

1.6 Teorema del Punto de Acumulación

Sea (E, d) un espacio métrico y A ⊂ E, un punto x ∈ E es **punto de acumulación** de A si y sólo si toda bola de centro x contiene algún punto de A distinto de x, es decir si (B(x, r) − {x}) ∩ A ≠ ∅ para todo r > 0.

Demostración:

Si existe {xn}n≥1 ⊂ A − {x} tal que {xn} → x entonces para todo r > 0 existirá n0 ∈ N tal que d(xn, x) < r, o bien xn ∈ (B(x, r) − {x}) ∩ A, para todo n ≥ n0. Recíprocamente, supongamos (B(x, r) − {x}) ∩ A ≠ ∅ para todo r > 0, entonces elegimos x1 ∈ (B(x, 1) − {x}) ∩ A, x2 ∈ (B(x, 1/2) − {x}) ∩ A tal que x2 ≠ x1 y para todo n ∈ N elegimos xn ∈ (B(x, 1/n) − {x}) ∩ A tal que xn ≠ x1, · · · , xn−1, lo cual podemos hacer pues toda bola de centro x contiene infinitos puntos de A: en efecto, si (B(x, r) − {x}) ∩ A = {x1, · · · , xn} y s = min{d(x1, x), · · · , d(xn, x)} se sigue que (B(x, s) − {x}) ∩ A = ∅, lo cual contradice la hipótesis. Tenemos entonces una sucesión {xn} ⊂ A − {x} tal que d(xn, x) < 1/n, es decir {d(xn, x)} → 0 o equivalentemente {xn} → x, por tanto x es un punto de acumulación de A.

1.8 Proposición de la Adherencia

Sea E un espacio métrico y A ⊂ E, entonces x ∈ A si y sólo si d(x, A) = 0, es decir A = {x ∈ E : d(x, A) = 0}.

Demostración:

Probaremos el contrarrecíproco, que d(x, A) > 0 si y sólo si x ∉ A. En efecto, d(x, A) = r > 0 si y sólo si d(x, a) ≥ d(x, A) = r, para todo a ∈ A, si y sólo si a ∉ B(x, r) o bien B(x, r) ∩ A = ∅ lo que es equivalente a que x ∉ A.

1.9 Proposición de la Continuidad Uniforme

Sea (E, d) un espacio métrico, A ⊂ E y f : E → R una aplicación definida por f(x) = d(x, A), entonces f es **uniformemente continua**.

Demostración:

En efecto, dados x, y ∈ E se tiene d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A} ≤ d(x, y) + inf{d(y, a) : a ∈ A} = d(x, y) +d(y, A), por tanto d(x, A)−d(y, A) ≤ d(x, y). Intercambiando el papel de x e y se sigue que |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y), entonces dado ε > 0 podemos tomar δ = ε y se cumple claramente d(x, y) < δ implica |f(x) − f(y)| = |d(x, A) − d(y, A)| < ε.

1.10 Proposición de la Aplicación Continua en Conjuntos Cerrados Disjuntos

Sea (E, d) un espacio métrico y A, B ⊂ E dos cerrados disjuntos, entonces existe una aplicación continua f : E → R satisfaciendo f(x) = 0 para todo x ∈ A y f(x) = 1 para todo x ∈ B.

Demostración:

Definimos f : E → R por f(x) = d(x, A)/(d(x, A) + d(x, B)), notar que d(x, A) + d(x, B) = 0 ⇔ d(x, A) = d(x, B) = 0 ⇔ x ∈ A = A y x ∈ B = B por tanto A ∩ B = ∅ ⇒ d(x, A) + d(x, B) > 0 y la continuidad de x ↦ d(x, A) y x ↦ d(x, B) implican la continuidad de f, finalmente es claro que f(x) = 0 si x ∈ A y f(x) = 1 si x ∈ B.

1.11 Teorema de la Continuidad y Sucesiones

Dada una aplicación f : (X, dX) → (Y, dY ) son equivalentes las siguientes afirmaciones:

1. f es **continua**.
2. Para todo x ∈ X y toda sucesión {xn} ⊂ X convergente a x, la sucesión {f(xn)} ⊂ Y converge a f(x).
3. f(A⁰) ⊂ [f(A)]⁰ para todo A ⊂ X.
4. f^-1(F) es cerrado para todo F cerrado.
5. f(A) ⊂ f(A) para todo A ⊂ X.

Demostración:

Sea x ∈ X, la continuidad de f implica que para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que f(B(x, δ)) ⊂ B(f(x), ε), si {xn} → x existirá n0 ∈ N tal que xn ∈ B(x, δ) para todo n ≥ n0, entonces f(xn) ∈ f(B(x, δ)) ⊂ B(f(x), ε) para todo n ≥ n0 o bien {f(xn)} → f(x). Sea A ⊂ X y x ∈ A⁰, entonces existe {xn} ⊂ A−{x} tal que {xn} → x, por (2) se sigue que {f(xn)} → f(x), es decir f(x) ∈ [f(A)]⁰ y por tanto f(A⁰) ⊂ [f(A)]⁰. Sea F cerrado en Y , si x ∈ [f^-1(F)]⁰ se sigue por (3) que f(x) ∈ f([f^-1(F)]⁰) ⊂ [ff^-1(F)]⁰ ⊂ F⁰ ⊂ F, luego x ∈ f^-1(F) y por tanto [f^-1(F)]⁰ ⊂ f^-1(F), es decir f^-1(F) cerrado. Supongamos que se satisface (4), dado A ⊂ X es claro que A ⊂ f^-1f(A) ⊂ f^-1(f(A)) y este último término es cerrado por serlo f(A), entonces A ⊂ f^-1(f(A)) o bien f(A) ⊂ f(A). Si se satisface (5) y f no es continua, existirá ε > 0 tal que para todo δ > 0 existe y ∈ B(x, δ) con f(y) ∉ B(f(x), ε), en particular para cada n ∈ N elegimos xn ∈ B(x, 1/n) con f(xn) ∉ B(f(x), ε), es claro que {xn} → x luego si A = {xn : n ∈ N} se tiene x ∈ A y se sigue de (5) que f(x) ∈ f(A) ⊂ f(A) lo cual está en contradicción con B(f(x), ε) ∩ f(A) = ∅.

1.22 Teorema de la Continuidad y Conjuntos Abiertos

Sea f : (X, dX) → (Y, dY ) una aplicación entre espacios métricos, entonces son equivalentes las siguientes afirmaciones:

1. f **continua**.
2. f^-1(V ) es abierto en X para todo V abierto en Y .
3. Para todo x ∈ X y abierto V en Y tal que f(x) ∈ V existe U abierto en X tal que x ∈ U y f(U) ⊂ V .

Demostración:

Sea f continua y V abierto en Y , si f^-1(V ) = ∅ ya está probado, en otro caso sea x ∈ f^-1(V ), entonces f(x) ∈ V y por ser V abierto existirá ε > 0 tal que f(x) ∈ B(f(x), ε) ⊂ V , como f es continua existirá δ > 0 tal que f(B(x, δ)) ⊂ B(f(x), ε), entonces x ∈ B(x, δ) ⊂ f^-1(B(f(x), ε)) ⊂ f^-1(V ) y por tanto f^-1(V ) es abierto. Supongamos cierto (2), sean x ∈ X y V abierto en Y tal que f(x) ∈ V , entonces U = f^-1(V ) es un abierto tal que x ∈ U y por tanto f(U) = ff^-1(V ) ⊂ V . Sean x ∈ X y ε > 0, aplicando (3) a V = B(f(x), ε) existirá U abierto en X tal que x ∈ U y f(U) ⊂ B(f(x), ε), como U abierto existe δ > 0 tal que x ∈ B(x, δ) ⊂ U y por tanto f(B(x, δ)) ⊂ f(U) ⊂ B(f(x), ε), es decir f es continua.