Fundamentos de Mecánica de Fluidos: Teoría y Aplicaciones

1. Teorema Pi de Buckingham

El Teorema Pi de Buckingham establece que si una ecuación física involucra n magnitudes físicas y estas magnitudes se expresan en términos de r unidades físicas independientes, entonces la ecuación original puede ser reescrita en términos de una relación funcional entre m = n – r variables adimensionales (denominadas números Pi).

Aplicación a la frecuencia de oscilación de un sistema masa-muelle:

Variables: frecuencia (f), masa (m), constante del muelle (K).
Número de variables (n): 3
Unidades: f [s^-1], m [Kg], K [Kg/s²]
Rango de la matriz de coeficientes (r): 2
Número de variables adimensionales (m): 3 – 2 = 1

En este caso, tenemos un único número adimensional, π₁, que se puede expresar como π₁ = constante. Calculando el número adimensional, obtenemos: f = m^α · K^β, donde β = 1/2 y α = -1/2. Por lo tanto, la relación final es: f /√(K/m) = C. Este resultado coincide con la fórmula conocida f = C√(K/m), donde C se determina experimentalmente y es igual a 1/(2π).

2. Semejanza Dimensional en Canales de Ensayos Hidrodinámicos

Conseguir una semejanza dimensional física completa en un canal de ensayos hidrodinámicos para medir la resistencia al avance de un modelo de buque a escala es complejo. Aplicando el teorema Pi a la resistencia al avance (D), se obtienen las siguientes variables:

Resistencia al avance (D) [N = Kg·m/s²]
Gravedad (g) [m/s²]
Densidad (ρ) [Kg/m³]
Velocidad (U) [m/s]
Longitud característica (L) [m]
Viscosidad (μ) [Pa·s = Kg/m·s]

Tenemos n = 6 variables. La matriz de unidades tiene rango r = 3, por lo que m = 6 – 3 = 3 números adimensionales. Tomando D, μ y g como variables dependientes, y ρ, U y L como independientes, obtenemos:

Π₁ = D/(ρU²L²)
Π₂ = gL/U² = 1/Fr² (Fr: Número de Froude)
Π₃ = μ/ρUL = 1/Re (Re: Número de Reynolds)

La conclusión del teorema Pi es: D/(ρU²L²) = F(Fr, Re). Para una semejanza física total, se deben igualar Fr y Re en el modelo y el prototipo. Asumiendo que ambos ensayos se realizan en agua dulce y con la misma gravedad, se tendrían que cumplir estas dos condiciones:

L/U² (modelo) = L/U² (prototipo)
LU (modelo) = LU (prototipo)

Cumplir ambas condiciones simultáneamente es muy difícil. En la práctica, se asume que para la mayoría de los buques, el número de Froude es dominante, y se escala despreciando el efecto del número de Reynolds.

3. Hipótesis de la Teoría de Flujo Potencial

Las hipótesis fundamentales de la teoría de flujo potencial son:

Fluido ideal: Se considera un fluido incompresible y no viscoso.
Flujo irrotacional: El campo de velocidades es irrotacional (∇ × v = 0).
Aproximación de fluido real a altos números de Reynolds (Re >> 1): Los efectos viscosos son despreciables fuera de la capa límite.
Efectos térmicos despreciables: Se asume que el fluido no tiene conductividad térmica, por lo que los efectos térmicos se concentran en la capa límite.
Densidad constante.
Fuerzas externas conservativas: Se asume que las fuerzas másicas externas son conservativas (f_m = -∇U).

4. Demostración de las Ecuaciones de Laplace y Bernoulli

Ecuación de Laplace:

La demostración de la ecuación de Laplace para el flujo potencial es conocida y se basa en la condición de irrotacionalidad y la ecuación de continuidad para un fluido incompresible. El resultado es: ∇²ϕ = 0, donde ϕ es el potencial de velocidades.

Ecuación de Bernoulli (caso estacionario con campo gravitatorio):

Partiendo de la ecuación de movimiento para un fluido ideal e incompresible:

∂v/∂t + ∇(v²/2) – v × (∇ × v) + ∇(p/ρ + U) = 0

En un flujo estacionario, ∂v/∂t = 0. Además, para un flujo irrotacional, ∇ × v = 0. Particularizando para un campo gravitatorio U = gz, y tomando el producto escalar con un vector tangente a una línea de corriente, se obtiene la ecuación de Bernoulli:

v²/2 + p/ρ + gz = constante a lo largo de una línea de corriente.

5. Ortogonalidad entre Líneas de Corriente y Equipotenciales

Partiendo de las definiciones de la función de corriente (ψ) y el potencial de velocidades (ϕ):

u = ∂ψ/∂y = ∂ϕ/∂x
v = -∂ψ/∂x = ∂ϕ/∂y

Si los gradientes de la función de corriente (∇ψ) y las líneas equipotenciales (∇ϕ) son perpendiculares a dichas líneas, y estos gradientes son ortogonales en todo punto, entonces las líneas de corriente y equipotenciales son perpendiculares entre sí. Demostramos que el producto escalar de los gradientes es nulo:

∇ψ · ∇ϕ = (∂ψ/∂x)(∂ϕ/∂x) + (∂ψ/∂y)(∂ϕ/∂y) = –vu + uv = 0

6. Caudal entre Dos Líneas de Corriente

El caudal (Q) entre dos líneas de corriente se define como el flujo a través de una superficie que conecta ambas líneas. Considerando dos líneas de corriente A y B:

Q = ∫_A^B v · ds = ∫_A^B (un_x + vn_y)ds = ∫_A^B ((∂ψ/∂y)n_x – (∂ψ/∂x)n_y)ds

Donde ds es un elemento de longitud a lo largo de la superficie, y n_x y n_y son las componentes del vector normal a la superficie. Usando la relación entre ds, dx y dy (ds·n_x = dy, ds·n_y = -dx), se obtiene:

Q = ∫_A^B ((∂ψ/∂y)dy + (∂ψ/∂x)dx) = ∫_A^B dψ = ψ(B) – ψ(A) = C₁ – C₂

Por lo tanto, el caudal entre dos líneas de corriente es igual a la diferencia entre los valores de la función de corriente en dichas líneas.

7. Función de Corriente y Potencial de Velocidades para una Fuente y un Torbellino

Fuente (m > 0):

Potencial de velocidades: ϕ = m ln(r)
Función de corriente: ψ = mθ
Velocidad radial: v_r = m/r
Velocidad tangencial: v_θ = 0
Velocidad en cartesianas: u = (mx)/(x² + y²), v = (my)/(x² + y²)

Torbellino:

Potencial de velocidades: ϕ = Kθ
Función de corriente: ψ = –K ln(r)
Velocidad radial: v_r = 0
Velocidad tangencial: v_θ = K/r
Velocidad en cartesianas: u = –Ky/(x² + y²), v = Kx/(x² + y²)

8. Circulación de un Torbellino

La circulación (Γ) alrededor del origen de un torbellino se calcula como:

Γ = ∮ v · dl = ∫₀^2π (K/r)rdθ = 2πK

9. Función de Corriente y Campo de Velocidades de un Semióvalo de Rankine

El semióvalo de Rankine se genera superponiendo una corriente uniforme y una fuente. La función de corriente es:

ψ = ψ_corriente + ψ_fuente = Ur sin(θ) + mθ

El campo de velocidades en coordenadas polares se obtiene derivando la función de corriente:

v_r = (1/r) ∂ψ/∂θ = U cos(θ) + m/r
v_θ = -∂ψ/∂r = –U sin(θ)

10. Ecuación del Semióvalo de Rankine en Coordenadas Polares

La línea de corriente que define el semióvalo corresponde a ψ = mπ. Igualando a la función de corriente:

mπ = Ur sin(θ) + mθ

Despejando r, obtenemos la ecuación del semióvalo en coordenadas polares:

r = m(π – θ)/(U sin(θ))

11. Función de Corriente de un Dipolo (Doblete)

Cartesianas:

ψ = -λy/(x² + y²)

Polares:

ψ = -λ sin(θ)/r

12. Flujo Potencial Alrededor de un Cilindro: Función de Corriente, Campo de Velocidades y Puntos de Remanso

Función de corriente:

ψ = U sin(θ)(r – a²/r) – K ln(r/a)

Donde a es el radio del cilindro y K es la circulación.

Campo de velocidades en polares:

v_r = (1/r) ∂ψ/∂θ = U cos(θ)(1 – a²/r²)
v_θ = -∂ψ/∂r = –U sin(θ)(1 + a²/r²) + K/r

Puntos de remanso:

Sobre la superficie del cilindro (r = a), v_r = 0. Los puntos de remanso se encuentran donde v_θ = 0:

sin(θ) = K/(2Ua)

13. Fuerza de Drag sobre un Cilindro

La presión en un punto genérico del cilindro se obtiene aplicando la ecuación de Bernoulli entre un punto alejado del cilindro y el punto en cuestión:

p = p_∞ + ρ(U² – v²)/2

Donde v² = (-2U sin(θ) + K/a)² en la superficie del cilindro.

La fuerza de Drag (D) se calcula como:

D = F · i = ∫₀^2π –p cos(θ) a dθ = 0

Por lo tanto, la fuerza de Drag sobre un cilindro en flujo potencial es nula.

14. Fuerza de Lift sobre un Cilindro

La fuerza de Lift (L) se calcula de manera análoga a la fuerza de Drag, pero proyectando sobre la dirección perpendicular a la corriente:

L = F · j = ∫₀^2π –p sin(θ) a dθ = 2πKρU

15. Hipótesis del Movimiento Unidireccional en Régimen Laminar

Las hipótesis para deducir las ecuaciones de flujos unidireccionales en régimen laminar (como los de Couette y Poiseuille) son:

Flujo unidireccional: La velocidad tiene una sola componente no nula (u ≠ 0, v = w = 0).
Fluido incompresible con densidad (ρ) y viscosidad (μ) constantes.
Tensor viscoso: τ’_ij = 2μγ_ij = μ(∂v_i/∂x_j + ∂v_j/∂x_i)
Fuerzas másicas conservativas: F_m = -∇U => P = p + ρU = P(x, t)

16. Gradiente de Presiones Constante en Flujo Unidireccional Estacionario

Partiendo de la ecuación de cantidad de movimiento en la dirección x:

ρ(∂u/∂t) = -∂p/∂x + ρf_mx + μ(∂²u/∂y² + ∂²u/∂z²)

En un flujo estacionario, ∂u/∂t = 0. Asumiendo fuerzas másicas conservativas, tenemos:

∂P/∂x = μ∇²u

Si u = u(y, z) y P = P(x), ambos lados de la ecuación deben ser iguales a una constante. Por lo tanto, ∂P/∂x = C (constante).

17. Potencia Mecánica en un Flujo de Couette

Ecuación diferencial y condiciones de contorno:

0 = μ ∂²u/∂y²
u(0) = 0
u(h) = U

Solución: u = Uy/h

Esfuerzo viscoso en la placa superior (y = h): τ’_xy = -μU/h

Fuerza por unidad de área: F = μU/h

Potencia por unidad de área: W = F · U = μU²/h

18. Caudal en un Flujo de Poiseuille Bidimensional

Ecuación y condiciones de contorno:

∂P/∂x = μ ∂²u/∂y²
u(0) = 0
u(h) = 0

Solución: u = (1/(2μ))(∂P/∂x)y(y – h)

Caudal por unidad de longitud: q = ∫₀^h u dy = -(h³/12μ)(∂P/∂x)

19. Flujo de Poiseuille en Coordenadas Cilíndricas

Ecuación diferencial:

∂P/∂x = (μ/r) ∂/∂r(r ∂u/∂r)

Condiciones de contorno:

u(a) = 0
u(0) finita

Solución (campo de velocidades):

u = -(1/(4μ))(∂P/∂x)(a² – r²)

20. Ecuación de un Diafragma para el Cálculo del Caudal

(Se asume un diafragma de orificio concéntrico en una tubería)

Ecuaciones de continuidad y Bernoulli:

Q = (π/4)D₁²V₁ = (π/4)D₂²V₂
P₀ = p₁ + (1/2)ρV₁² = p₂ + (1/2)ρV₂²

Donde D₁ y D₂ son los diámetros de la tubería y el orificio, V₁ y V₂ son las velocidades en la tubería y el orificio, y p₁ y p₂ son las presiones aguas arriba y aguas abajo del diafragma.

Eliminando V₁ y despejando V₂:

Q/A₂ = V₂ ≈ √[(2(p₁ – p₂))/(ρ(1 – D₂⁴/D₁⁴))]

Introduciendo un coeficiente de descarga (C_d) para corregir las pérdidas:

Q = C_d A₂ √[(2(p₁ – p₂)/ρ)/(1 – β⁴)]

Donde β = D₂/D₁ es la relación de diámetros.

21. Hipótesis de la Capa Límite Incompresible

Ecuación de la continuidad: (v/u) ≈ δ/l << 1
Términos viscosos: Δ_(y)p/Δ_(x)p ≈ (δ/l)² << 1
p(x, y) ≈ p(x) => ∂p/∂y = 0 => La presión es constante a través de la capa límite.
En el exterior de la capa límite: p(x) = p_e(x)
En el exterior de la capa límite: dp_e(x)/dx = -ρU dU/dx (Ecuación de Bernoulli)
Los términos convectivos son del orden de los viscosos si: δ/l ≈ 1/√Re

22. Espesor de Desplazamiento (δ*) para un Perfil de Velocidades Senoidal

Perfil de velocidades: u/U = sin(πy/(2δ))

Definición de espesor de desplazamiento: δ* = ∫₀^δ (1 – u/U) dy

Integrando: δ* = ∫₀^δ (1 – sin(πy/(2δ))) dy = δ(π – 2)/π

23. Solución de Blasius para Capa Límite Bidimensional Estacionaria

Relación entre δ y x:

A partir de la definición de η = y√(U/(νx)) y asumiendo que en η = 5, f‘ = u/U = 0.99 (borde de la capa límite), entonces y = δ. Sustituyendo:

5 = δ√(U/(νx)) = (δ/x)√(Ux/ν) = (δ/x)√Re_x

Por lo tanto: δ/x = 5/√Re_x

Coeficiente de fricción (C_f):

C_f = 2τ/(ρU²) = (2μ du)/(ρU² dy) = (2μ d(Uf‘) dη)/(ρU² dη dy) = (2ν f» √(U/(νx)))/U

Particularizando en y = η = 0:

C_f = 2f»(0) √(ν/(Ux)) = 0.664/√Re_x

Donde f»(0) = 0.332 según la solución de Blasius.