Geometría Analítica: Puntos, Rectas, Planos y Distancias

Puntos Simétricos

Punto Simétrico de A respecto al Plano

1. Sacar ecuación paramétrica con los puntos y vector director del plano.
2. Sustituir lo que da la paramétrica en el plano.
3. Q (punto de corte) x el punto de intersección – el punto inicial = puntos que equidistan (dist(A,P) = dist(A,Q)).
4. Comprobar que el plano es perpendicular al segmento: producto escalar = 0 del vector director y vector normal es perpendicular; es paralelo, punto medio P + Q entre dos, o sea, los del vector director.

Punto Simétrico respecto a una Recta

1. Buscamos punto M de manera que el vector AM sea perpendicular al vector dirección:

• Punto de la recta + delta(vector director de la recta)
• Se suma y se hace AM.
• Vector multiplicar AM por el vector director para sacar delta y por tanto M.
• Punto simétrico: M + AM.

Rectas Simétricas

Recta Simétrica respecto a otra (Se Cruzan)

1. Posición relativa: si no son paralelas hacemos vector props, para producto escalar de sus vectores directos y este vector, si no da cero se cruzan.
2. Calcular plano con punto de S y los otros dos vectores directores, nos da la ecuación.
3. Coger punto de R y vector director de la ecuación que hemos sacado y con eso paramétrica.
4. Hacer donde se corta con el plano.
5. Punto simétrico: 2P (punto de corte) – el punto de la recta R.
6. Con el punto sacado y el vector directo de la recta A sacar recta paramétrica.

Recta Simétrica respecto a otra (Paralela)

1. Posición relativa: concidente o paralelas.
2. Punto de R y vector de R y juntarlos para sacar D, es decir, la ecuación implícita (sustituir), nos da plano.
3. Punto de corte de la recta S con el plano, hacer los pasos de la anterior explicación a partir del punto 4.

Planos Simétricos

Plano Simétrico respecto de otro (Secantes)

1. Posición relativa.
2. Sacar punto cualquiera del primer plano y vector director del plano B, con estos dos sacar recta paramétrica.
3. Hacer punto de corte con el segundo plano.
4. Punto simétrico.
5. Con los planos iniciales calcular la recta paramétrica, dando valor a z con delta.
6. Con el punto simétrico, el vector directo de esta recta y el vector directo del punto simétrico y de la recta y determinante para darnos ecuación del plano.

Plano Simétrico a otro (Paralelos)

1. Posición relativa.
2. Sigue los pasos anteriores hasta el punto simétrico.
3. Donde con el y el vector director plano 1 con el plano pertenece a este punto, vector director 1x, 2y, 2z, –sustituir simétrico.

Distancias

Distancia entre Dos Puntos

El módulo elevado a 2 todo.

Distancia de un Punto a una Recta

1. Vector director por la recta paramétrica (2(1 + 1delta)).
2. Nos dará delta la sustituimos en la recta, para que nos dé el punto de intersección.
3. Distancia: el punto original menos el punto de corte raíz y elevado a 2 cada uno.

Distancia de un Punto a un Plano

Lo mismo pero sacamos la recta paramétrica a través del punto y vector director del plano.

Fórmula: la ecuación del plano sustituida por el punto de la recta / módulo del vector normal del plano.

Distancia de la Recta al Plano

1. Ar . npi = 0 tiene que dar cero porque si no no son paralelas y no hay distancia.
2. Si esto sucede comprobamos si el punto de R existe en el plano si no es así son paralelas, y aplicamos fórmula.

Distancia entre Dos Planos

1. Comprobar si son paralelos 2/3.3/2,2.
2. Según el grado de libertad inventarse un punto en un plano.
3. De ese punto calcular la distancia punto a plano.
4. Que tiene que dar lo mismo que en el otro plano.

Distancia entre Dos Rectas Paralelas

1. Calcular posición relativa.
2. Comprobar si un punto de R existe en la recta S, si existe son coincidentes, si no paralelas.
3. Calcular un punto de R a la recta S (vector pr y ps, aplicamos fórmula módulo de: este vector con el producto vectorial con el vector director de S, entre el el módulo del vector director de S.

Distancia entre Dos Rectas que se Cruzan

1. Pillar vector directo de los dos y un punto y hacer producto vectorial la matriz, nos dará plano.
2. Pr y plano que hemos sacado aplicamos fórmula la primera de todas.

Áreas y Volúmenes

Área del Triángulo AB, AC

1/2 x el módulo [el punto que nos a dado haciendo el escalar] se tiene que elevar a dos y raíz y sumar.

Volumen Tetraedro: AB, AC, AD

1/6 x (producto escalar anterior).

Superficie Esférica

X – X0 elevado a dos + Y – Y0 … = relevado a 2.

Rectas Simétricas a Planos

Recta Simétrica a un Plano (Secantes)

1. Posición relativa.
2. Punto de la recta y vector del director sacar paramétrica.
3. Punto de corte con el plano inicial.
4. Punto simétrico de este 2Q – P.
5. Corte entre la recta inicial y el plano nos dará un punto.
6. Sacar recta paramétrica con el punto inicial de la recta y el vector director del punto simétrico y el último punto sacado.

Recta Simétrica a un Plano (Paralelas)

1. Posición relativa, con lo de siempre o con el producto escalar si da cero y existiendo el punto.
2. Mismo paso 2 que la anterior.
3. 3 mismo punto.
4. Puntos simétricos.
5. Con el punto simétrico y el vector directo de la recta inicial sacar recta paramétrica.

Representación de Funciones

1. Igualar a cero las dos sacaras donde se cruzan con el punto de eje.
2. X = b/2a serán el punto de en medio y si sustituyes en x te dará el máximo o mínimo de cada función.

Ecuaciones de Rectas y Planos

Recta que Corta Perpendicularmente a Dos Rectas

Hallar la ecuación implícita del plano de cada una y luego hallar la ecuación en conjunto con el punto y sus vectores directos.

Otros

SCI = 0 y 0 se cortan en recta, si 0 y 2 no se cortan, SCD se cortan en un punto.