Conceptos Básicos
Universo
Es una colección de objetos de los que se hablará en una lógica específica. Por ejemplo, si se ha de tratar de contribuyentes al fisco (quienes pagan impuestos), entonces el universo consistirá de las personas que pagan o han de pagar impuestos y, naturalmente, de las cantidades pagadas como impuesto. Por ejemplo, si se habla de automóviles y sus reparaciones, el universo consistirá de los objetos involucrados, a saber, automóviles y componentes de ellos que sean relevantes para el estudio.
Conjunto (Clásico) en el Universo
Una colección de objetos en el discurso tal que es posible decidir cuándo un objeto del universo está o no en esa colección. En el universo de automóviles, cada una de las marcas de automóviles podrían formar un conjunto. Abstrayendo la noción de conjunto, se puede considerar que un conjunto es exactamente una función del universo en el conjunto de valores 0,1 que asocia precisamente el valor 1 a los objetos que estén en el conjunto y el valor 0 a los que no.
Conjunto Difuso
Es también una función que asocia a cada objeto del universo un valor en el intervalo [0,1]. Si x es un objeto en el universo y y = C(x) es el valor asociado a x, se dice que y es el grado de pertenencia del objeto x al conjunto difuso C. Así pues, todo conjunto en el sentido usual es también un conjunto difuso. Los conjuntos usuales merecen un nombre especial. En inglés, por ejemplo, se les llama de manera convencional crisp sets. En español no hay una convención definida, pero algunos autores los llaman conjuntos usuales o conjuntos clásicos.
Subconjuntos
Dados dos conjuntos difusos A y B en un universo, diremos que A es un subconjunto de B si para todo objeto x del universo se cumple la desigualdad A(x) = B(x). Los conjuntos serán iguales si cada uno es un subconjunto del otro, en otras palabras, si para todo x, A(x) = B(x).
Conjuntos Clásicos vs. Conjuntos Difusos
Esto significa que la existencia del conjunto depende de la determinación precisa de cuáles elementos pertenecen y cuáles no a dicho conjunto. En los conjuntos difusos la pertenencia de un elemento a un conjunto no es tan drástica. El elemento puede tener un grado de membresía a dicho conjunto. Los conjuntos clásicos se pueden representar de 3 formas:
- Nombrando los elementos del conjunto. Ej: A={a,e,i,o,u}
- Definiendo una expresión que los miembros cumplan. Ej: A={x| x es una letra vocal}.
- Definido por una función característica. Esta función mapea los elementos del conjunto universo a los elementos del conjunto {0,1}.
Tipos de Funciones de Membresía
- Sigmoide
- Diferencia entre 2 sigmoides
- Función Gaussiana
- Curvas basadas en Splines
- Función triangular
Operaciones Básicas sobre Conjuntos Difusos
- Unión
- Intersección
- Complemento
- Unión difusa standard
- Intersección difusa standard
- Complemento difuso standard
Complementos, T-Normas y T-Conormas
1.- Complementos
- Las operaciones básicas no son únicas.
- Existen diversos tipos de complementos difusos, de uniones difusas (llamadas t-conormas) y de intersecciones difusas (llamadas t-normas).
- Dado un conjunto difuso A definido en X, tal que x ∈ X, por definición el complemento de A se puede interpretar como el grado en que x no pertenece a A
- Comp= C : [0,1] —> [0,1].
Tipos de Complementos
- Tipo umbral
- Clase Sugeno
- Clase Yager
2.- T-Normas
- La intersección de 2 conjuntos A y B es una operación binaria sobre el intervalo unitario
Tipos de T-Normas
- Producto algebraico
- Diferencia límite
- Intersección drástica
- Yager
- Schweize & Sklar
3.- T-Conormas
- La unión de 2 conjuntos A y B es una operación binaria sobre el intervalo unitario
Tipos de T-Conormas
- Suma producto
- Suma límite
- Unión drástica
- Yager
- Schweizer & Sklar
Implicaciones Difusas
Caso Clásico
Existen varios operadores de implicación difusa, uno de los más utilizados en la práctica es el del mínimo, Igualmente se tiene el producto. Otros operadores de implicación difusa: Early Zadeh, Larsen, Estándar estricta, Godel, Yager.
Operaciones de Agregación
Son operaciones mediante las cuales se puede llevar varios conjuntos difusos a uno sólo. Una clase de operaciones de agregación es la media generalizada. También pueden ser utilizadas para la agregación operaciones más sencillas, correspondientes a las S-normas, tales como:
- El máximo de los conjuntos difusos
- La suma algebraica de los conjuntos difusos
- La suma producto de los conjuntos difusos
Métodos de Defuzificación
La salida de un proceso de inferencia es un conjunto difuso, sin embargo lo que se requiere usualmente son valores crisp.
Algunos Operadores de Defuzificación
- Centroide
- Primer max
- Criterio max
- Media de máximos
- etc