Modelos de Crecimiento Poblacional
Modelo Lineal
El modelo lineal describe una población donde la tasa de crecimiento es constante. Se representa por la ecuación: dN/dt = Na – Mu, donde:
- dN/dt: es la pendiente de la recta, que representa la tasa absoluta de crecimiento.
- Na: tasa de natalidad.
- Mu: tasa de mortalidad.
- r = Na – Mu: tasa intrínseca de crecimiento, que se asume constante.
En este modelo simplificado, se asume que la población no se ve afectada por factores externos y que la tasa de crecimiento es igual a la diferencia entre la natalidad y la mortalidad. El tiempo de duplicación de la población no es constante, sino que depende del número de individuos.
Modelo Exponencial Continuo
Este modelo considera que el tamaño de la población (N) influye en la tasa de crecimiento. Se representa por la ecuación: dN/dt = (Na – Mu) * N.
Características principales:
- La población aumenta exponencialmente, añadiendo una cantidad que depende de la población anterior.
- Se forma una asíntota cuando la población deja de crecer.
- Al principio, el crecimiento es más lento debido a que el tamaño de la población es menor.
- La tasa absoluta de crecimiento aumenta con el tiempo, ya que N aumenta.
- Si la población no tiene limitaciones, puede crecer hasta el infinito, hasta que se encuentre con una limitación (como la escasez de recursos o la depredación).
- La relación entre el tamaño de la población en el tiempo (Nt) y el tamaño inicial (N0) se describe por: Nt = N0 * exp(rt).
- El tiempo de duplicación (t) se calcula como: t = ln(2) / r.
Modelo con Estocasticidad Ambiental
Este modelo incorpora la influencia del ambiente en las tasas de natalidad y mortalidad. La ecuación es la misma que la del modelo exponencial continuo: dN/dt = (Na – Mu) * N. Sin embargo, en este caso, Na y Mu pueden variar con el tiempo debido a factores ambientales aleatorios.
Cuando una gráfica muestra un patrón irregular, es indicativo de que la tasa intrínseca de crecimiento (r) no es constante en el tiempo debido a la estocasticidad ambiental. Si hay limitaciones ambientales, se espera que el crecimiento de la población se estabilice, alcanzando un punto máximo conocido como capacidad de carga (K).
Modelo Logístico Continuo
Este modelo describe una población limitada por los recursos disponibles. La ecuación es: dN/dt = r * N * (1 – (N / K)), donde:
- K: capacidad de carga, el número máximo de individuos que el sistema puede soportar sin que la población colapse.
Características clave:
- Al principio, el crecimiento es exponencial.
- Cuando N = K, dN/dt = 0, y la población se estabiliza.
- Cuando N es muy bajo, dN/dt ≈ rN, similar al crecimiento exponencial.
- El punto de inflexión, donde la tasa absoluta de crecimiento comienza a disminuir, se alcanza en K/2.
Tasas de Crecimiento en el Modelo Logístico
- Tasa absoluta (dN/dt): Representa el crecimiento de la población en cada momento. Alcanza su máximo en la mitad de la capacidad de carga (K/2) y disminuye a ambos lados, siendo 0 cuando no hay individuos y también en la capacidad de carga.
- Tasa instantánea ((dN/dt) * N): Representa el crecimiento de la población en relación con el número de individuos. A medida que aumenta el número de individuos, la tasa de crecimiento disminuye hasta llegar a cero en la capacidad de carga. En una gráfica, se representa como una isoclina.
Modelos con Interacciones entre Especies
Modelo Logístico Continuo con Depredación
Este modelo simula el comportamiento de una población de presas en presencia de depredadores. La ecuación es: dN/dt = r * N * (1 – (N / K)) – fND, donde:
- f: eficiencia de caza.
- N: población de presas.
- D: número de depredadores.
Este modelo asume una respuesta funcional de Tipo I, donde el número de presas consumidas por los depredadores aumenta proporcionalmente con el número de presas disponibles. Si f = 0, no hay depredación y la población de presas alcanza la capacidad de carga. Si f > 0, la población de presas no alcanza K debido a la depredación.
Modelo Depredador-Presa de Lotka-Volterra
Este modelo describe la dinámica de una población de presas y depredadores donde el número de depredadores depende del número de presas. Las ecuaciones son:
- Tasa de cambio de la población de presas: dP/dt = r * P – f * P * D
- Tasa de cambio de la población de depredadores: dD/dt = c * f * P * D – m * D
Donde:
- P: población de presas.
- D: población de depredadores.
- r: tasa intrínseca de crecimiento de la población de presas.
- f: eficiencia de caza.
- c: tasa de conversión de presas en depredadores.
- m: tasa de mortalidad de los depredadores.
Características del modelo:
- Las poblaciones de presas y depredadores están acopladas y presentan un desfase temporal.
- El crecimiento de la población de presas precede al crecimiento de la población de depredadores.
- Cuando la población de depredadores aumenta, la población de presas disminuye.
- Cuando la población de presas es baja, la población de depredadores disminuye, permitiendo que la población de presas se recupere.
- Este ciclo se repite continuamente.
Para la integración numérica de este modelo, se recomienda el método de Runge-Kutta 2.
Modelo de Competencia Interespecífica
Este modelo describe la dinámica de dos especies que compiten por los mismos recursos. Las ecuaciones son:
- Tasa de cambio del competidor 1: dN1/dt = r1 * N1 * [1 – ((N1 + alfa * N2) / K1)]
- Tasa de cambio del competidor 2: dN2/dt = r2 * N2 * [1 – ((N2 + beta * N1) / K2)]
Donde:
- N1, N2: tamaños poblacionales de las especies 1 y 2, respectivamente.
- r1, r2: tasas intrínsecas de crecimiento de las especies 1 y 2, respectivamente.
- K1, K2: capacidades de carga de las especies 1 y 2, respectivamente.
- alfa: coeficiente de competencia de la especie 2 sobre la especie 1.
- beta: coeficiente de competencia de la especie 1 sobre la especie 2.
A largo plazo, ambas poblaciones tienden a estabilizarse debido a la limitación de recursos. La especie con mayor capacidad de carga o con una mayor tasa intrínseca de crecimiento y un coeficiente de competencia más favorable tiende a alcanzar un tamaño poblacional mayor.