Problemas Resueltos de Probabilidad y Estadística
Problema 1: Germinación de Semillas
Para un estudio sobre el poder de germinación de semillas, se tienen semillas de una variedad mejorada y semillas no mejoradas. Se definen los siguientes sucesos y probabilidades:
- Suceso A: Las semillas son de la variedad mejorada.
- Suceso B: Las semillas son de la variedad no mejorada.
- Suceso C: La semilla no germina.
Probabilidades dadas:
- P(A) = 0,7
- P(C/A) = 0,01
- P(C/B) = 0,20
Apartado a1
¿Son los sucesos A y B excluyentes? ¿Son independientes?
Los sucesos son excluyentes, ya que una semilla no puede ser simultáneamente de la variedad mejorada y no mejorada. Por lo tanto, no pueden ser independientes.
Se demuestra que si P(A ∩ B) = 0 ≠ P(A)P(B) = 0,7 * 0,3 = 0,21.
Apartado a2
Si se mezclan todas las semillas, calcular el porcentaje de semillas que germinarán.
P(no C) = P(A)P(no C/A) + P(B)P(no C/B) = 0,7 * 0,99 + 0,3 * 0,8 = 0,933; el 93,3%
Apartado a3
Si tras elegir una semilla al azar del conjunto de semillas, se planta y germina, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea de la variedad no mejorada?
P(B/no C) = [P(B)P(no C/B)] / P(no C) = 0,3 * 0,8 / 0,933 = 0,2572
Problema 2: Densidad de Bosques de Pinos
En una determinada zona del Mediterráneo español, la densidad de los bosques de pinos carrascos (Pinus halepensis), medida en pies/ha, se distribuye uniformemente entre 900 y 2000 pies/ha.
Apartado a1
¿Cuál es la probabilidad de que la densidad de un bosque de esta zona elegido al azar sea superior a 1500 pies/ha?
X: ‘número de pinos por hectárea (pies/ha)’ ~ U [900, 2000]
P(X > 1500) = 1 – (1500 – 900) / (2000 – 900) = 0,4545
Apartado a2
¿Cuál es la probabilidad de que la densidad de un bosque de esta zona elegido al azar se encuentre comprendida entre 1000 y 1500 pies/ha?
P(1000 < X < 1500) = F(1500) – F(1000) = (1500 – 900) / (2000 – 900) – (1000 – 900) / (2000 – 900) = 0,5454 – 0,0909 = 0,4545
Relación entre a1 y a2
La probabilidad es la misma porque, al tratarse de una distribución uniforme, todos los intervalos de la misma longitud tienen la misma probabilidad siempre que estén dentro del intervalo [a, b].
Problema 3: Tiempo de Maduración de Almendros
El tiempo transcurrido entre la floración y la maduración de los frutos de los almendros de una determinada variedad en el sureste español varía aleatoriamente según una distribución exponencial de media m = 195 días. Calcular la probabilidad de que en un área de cultivo elegida al azar del sureste español dicho tiempo sea inferior a 150 días.
X: ‘tiempo transcurrido entre la floración y la maduración’ ~ EXP [α = 1/195]
P(X < 150) = 1 – e-150/195 = 0,5366
Problema 4: Inspección de Calidad en una Central Hortofrutícola
Una central hortofrutícola que envasa cajas de tomates tiene un sistema de inspección on-line por visión artificial que inspecciona la calidad de los tomates. Este sistema detecta 0,2 imperfecciones por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema detecte 1 imperfección en 3 minutos?
X: ‘número de imperfecciones en 3 minutos’ ~ Ps (λ = 0,6)
P(X = 1) = e-0,6 * 0,61 / 1! = 0,3293
Problema 5: Accidentes con Víctimas Mortales
El número de accidentes con víctimas mortales en las carreteras españolas en días laborables es una variable aleatoria cuyo promedio es 1 por semana.
La distribución de base es binomial, ya que se tiene una n (número de desplazamientos en días laborables) que tiende a infinito y una p (probabilidad de accidente con víctimas mortales) muy pequeña. Se puede aproximar por una variable de Poisson (λ) y, por lo tanto, se pueden calcular probabilidades aunque no se disponga de los valores de n ni de p, ya que se dispone del parámetro λ = np, media de la distribución.
Problema 6: Fiabilidad de un Dispositivo Electrónico
Un dispositivo electrónico está formado por 4 componentes: A, B, X1 y X2. Las componentes A y B tienen una fiabilidad (probabilidad de seguir funcionando) a las 1000 horas de 0,90 y 0,95, respectivamente. Para cada una de las componentes X1 y X2, dicha fiabilidad es de 0,60. Calcular la fiabilidad del dispositivo a las 1000 horas.
Sean los sucesos:
- A = Componente A dura más de 1000 horas ⇒ P(A) = 0,90
- B = Componente B dura más de 1000 horas ⇒ P(B) = 0,95
- X1 = Componente X1 dura más de 1000 horas ⇒ P(X1) = 0,60
- X2 = Componente X2 dura más de 1000 horas ⇒ P(X2) = 0,60
- D = Dispositivo conjunto dura más de 1000 horas
Llamando C al suceso C = B(X1 + X2) ⇒ P(C) = 0,95 * (0,60 + 0,60 – 0,60 * 0,60) = 0,798
Se tiene D = A + C ⇒ P(D) = P(A) + P(C) – P(A)P(C) = 0,90 + 0,798 – 0,90 * 0,798 = 0,9798
Problema 7: Producción de Tabletas Farmacéuticas
Una industria farmacéutica produce unas tabletas con un proceso que tiene una probabilidad de 0.001 de producir tabletas que no cumplen con la dureza establecida.
Apartado a
¿Qué probabilidad hay de encontrar menos de 6 tabletas que no cumplan la normativa en un conjunto de 5000 tabletas?
X: Nº de tabletas que cumplen las especificaciones de dureza de una serie de 5000 ~ Bi(n=5000; p=0.001) ≈ Poisson (λ=5000*0.001=5)
P(Poisson (λ=5) < 6) = P(Poisson (λ=5) ≤ 5) = 0.6160 (según la tabla de Poisson)
Apartado b
El departamento de producción estudia el tiempo que tarda la granuladora en tener un fallo accidental tras una operación de mantenimiento. Se determina que sigue una distribución exponencial y que tiene una probabilidad del 30% de superar las 1000 horas. ¿Cuál es la probabilidad de que, tras una operación de mantenimiento, la granuladora supere las 500 horas de funcionamiento sin fallos accidentales?
Y: Tiempo hasta el fallo ~ Exponencial (α)
P(Y > 1000) = 0.30 ⇒ e-α * 1000 = 0.30 ⇒ α = 0.0012
P(Y > 500) = e-α * 500 = 0.5477
Apartado c
La empresa decide comercializar las tabletas en un nuevo mercado y efectúa 10 envíos. Si la probabilidad de que un envío llegue a destino en el plazo establecido es del 95%, ¿cuál es la probabilidad de que lleguen más de 8 envíos dentro de plazo?
Z: Número de envíos de un conjunto de 10 que llegan dentro de plazo ~ Bi(n=10, p=0.95)
P(Z > 8) = P(Z = 9) + P(Z = 10) = (10 choose 9) * (0.95)9 * 0.05 + (10 choose 10) * (0.95)10 = 0.9139
Problema 8: Biopsia y Respuesta a la Dieta
Apartado c1
¿Qué porcentaje de los pacientes tienen la biopsia mal y sí responden a la dieta?
(29/47) * 100 = 61,7%
Apartado c2
¿Qué porcentaje de pacientes que tienen la biopsia bien no responden a la dieta?
(4/14) * 100 = 28,57%
Apartado c3
Una médica concluye que el resultado de la biopsia no influye sobre la respuesta a la dieta, puesto que de los que NO responden a la dieta, el 50% tiene la Biopsia BIEN y el otro 50% la tiene MAL. Analizar críticamente la conclusión.
La conclusión de la médica no es correcta, ya que la ha extraído analizando la frecuencia condicional de BIOPSIA/RESPUESTA A LA DIETA, que depende de la proporción relativa de pacientes con biopsia bien o mal que hay en la muestra (en este estudio son más los pacientes que la tienen mal).
Problema 9: Predicciones Meteorológicas y Teorema de la Probabilidad Total
«Mañana NO llueve en Valencia». Las predicciones meteorológicas afirman que la probabilidad de lluvia para mañana en Valencia es del 20%.
Apartado a1
¿Crees que el teorema de la probabilidad total puede ser útil en este caso para calcular la probabilidad de A? ¿Por qué?
El teorema de la probabilidad total no es útil ni necesario en este caso, ya que A es el suceso contrario a que llueva mañana en Valencia y dicha probabilidad es conocida. Dado que la probabilidad de que llueva es de 0.2, la forma de calcular la probabilidad de A sería: P(A) = 1 – 0.2 = 0.8
Apartado a2
Pon un ejemplo en el que el teorema de la probabilidad total sea de utilidad para calcular la probabilidad de un suceso.
El teorema de la probabilidad total es útil cuando tenemos una partición del espacio muestral y conocemos la probabilidad de un suceso B condicionada a cada uno de los sucesos de la partición, pero no globalmente. Por ejemplo, si en la ETSIAMN hay 3 grupos en la asignatura de estadística con 30, 25 y 15 alumnos cada uno, y sabemos que el porcentaje de aprobados en cada grupo es, por ejemplo, 60%, 75% y 80%, para calcular la probabilidad de que un alumno de la ETSIAMN apruebe estadística, podemos aplicar el teorema de la probabilidad total:
P(aprobar estadística) = 0.6 * 30/(30+25+15) + 0.75 * 25/(30+25+15) + 0.8 * 15/(30+25+15)
Problema 10: Encuesta de Satisfacción con Operadores de Telefonía Móvil
Se ha realizado una encuesta para determinar el grado de satisfacción de los usuarios con su operador de telefonía móvil, considerando solamente los tres operadores mayoritarios: A, B y C. Un 40% de los encuestados era cliente de A, un 35% de B y un 25% de C. El 65% de los encuestados se mostraron satisfechos con sus servicios móviles. El 28% de todos los encuestados afirmaron ser clientes de A y, además, estar satisfechos. De los clientes de B, un 27% estaban insatisfechos.
Recopilando la información del enunciado tenemos:
- P(A) = 0,4
- P(B) = 0,35
- P(C) = 0,25 (constituyen una partición)
- S = Satisfacción con los servicios de telefonía móvil
- P(S) = 0,65
- P(A ∩ S) = 0,28
- P(¬S|B) = 0,27
Apartado b1
¿Qué porcentaje de clientes de C se muestra satisfecho con sus servicios? P(S|C)?
P(S) = 0,65 = P(S ∩ A) + P(S ∩ B) + P(S ∩ C) = 0,28 + P(S|B)P(B) + P(S|C)P(C) = 0,28 + (1 – 0,27) * 0,35 + 0,25 * P(S|C)
P(S|C) = (0,65 – 0,28 – 0,2555) / 0,25 = 0,458
El 45,8% de los clientes de C se muestra satisfecho con sus servicios.
Apartado b2
Si conocemos a una persona que se muestra insatisfecha con su operador de telefonía móvil, ¿cuál es la probabilidad de que sea cliente de B?
P(B|¬S) = P(¬S|B)P(B) / P(¬S) = 0,27 * 0,35 / (1 – 0,65) = 0,27
Apartado b3
¿Son excluyentes los sucesos “no ser cliente de A” y “estar satisfecho con los servicios móviles contratados”?
Para ver si estos dos sucesos son excluyentes, comprobaremos si P(¬A ∩ S) = 0.
P(¬A ∩ S) = P((B ∪ C) ∩ S) = P((B ∩ S) ∪ (C ∩ S)) = P(B ∩ S) + P(C ∩ S) = P(S|B)P(B) + P(S|C)P(C) = 0,37 ≠ 0
Por tanto, estos sucesos no son excluyentes.
Apartado b4
¿Son independientes los sucesos descritos en b3)?
Para ver si son independientes, comprobaremos si P(¬A ∩ S) = P(¬A)P(S).
P(¬A ∩ S) = P(S|B)P(B) + P(S|C)P(C) = 0,73 * 0,35 + 0,458 * 0,25 = 0,37
P(¬A)P(S) = 0,6 * 0,65 = 0,39
Por tanto, no son independientes.