La inversión:es una transformación geométrica plana en la cual los puntos relacionados o transformados se denominan inversos, y cumplen las siguientes condiciones:Los puntos inversos están alineados con un tercero fijo llamado centro de la Inversión (O).
El producto de los segmentos trazados desde los puntos inversos al centro es una constante llamada potencia
de la inversión (k). Aplicando el concepto de potencia de un punto con respecto a una circunferencia (ver capítulo de Polaridad en el Libro 1) podemos deducir que dos pares de puntos inversos se encuentran siempre en una misma circunferencia. Una inversión puede definirse dando: El centro O y la constante k. El centro O y un par de puntos inversos A-A’ (esto es lo más común). Dos pares de puntos inversos A-A’ y B-B’. Propiedades: Si el centro de una inversión coincide con el centro de una circunferencia, existen dos autoinversiones que relacionan la circunferencia consigo misma. En la primera, k=r2, y en la segunda k=-r2.
Se denominan curvas cónicas a las diversas secciones producidas en unas superficie cónica. Según sea la posición del plano secante respecto deleje del cono, en relación con el ángulo del vértice, hay tres tipos:
elipse, parábola e hipérbola.
Los elementos de una cónica; eje o ejes de simetría: recta o rectas imaginarias en relación a las cuales una figura es simétrica, centro: son dos puntos notables de la cónica; directrices: rectas de intersección del plano secante con el plano que contiene a la circunferencia y la esfera, focos: son los puntos que definen la cónica, excentricidad: distancia desde un punto P cualquiera respecto del foco, del eje y de la directriz.
Elipse
: es una curva cerrada y plana que se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos fijos F1 y F2, llamados focos, es constante e igual a la magnitud del eje mayor (V1V2)—PF1+PF2=V1V2=2a. Una de las propiedades fundamentales es la simetría ya que tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí que se centran en el centro de la curva. Trazados: por puntos y por afinidad
Hipérbola
: es una curva plana, abierta con dos ramas que se definen como el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a otros dos fijos F1 y F2, llamados focos, es constante e igual a la dimensión del eje real. PF1-PF2=V1V2=2ª. Una de sus propiedades fundamentales es su simetría ya que tiene dos ejes de simetría perpendiculares entre sí, otra el eje que pasa por los vértices V1 y V2 de la curva se llama eje real y vale 2a. El perpendicular al anterior se llama virtual o imaginario y por último las asíntotas que son las rectas tangentes a la hipérbola en los puntos del infinito
Parábola:
es una curva plana, abierta y de una sola rama, que se define como lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo F, llamado foco y de una recta fija d, llamada directriz.PF=PM. Sus propiedades fundamentales son el eje ya que tiene un eje perpendicular a la directriz, que contiene al F y al vértice V y también es eje de simetría de la cónica y el vértice se encuentra en el eje y es el punto medio del segmento. O
Dos figuras planas son homográficas cuando se corresponden punto a punto y recta a recta de modo que a cada punto y recta de una figura le corresponde un punto y una recta de la otra. Dos secciones de una misma radiación son homológicas si se cumple que:
1. Los puntos homólogos están alineados con uno llamado centro de homología.
2. Rectas homólogas se cortan en puntos de una recta llamada eje de homología.
Existen 2 tipos de Homología:
● Homología directa: se da cuando un punto y su homólogo se encuentran en diferentes lados del Eje.
● Homología inversa: se da cuando un punto y su homólogo se encuentran al mismo lado del Eje.
Una homología queda determinada dando:
A) El centro, el eje y un par de puntos homólogos
B) El centro, el eje y un par de rectas homólogas
C) Tres puntos no alineados y sus homólogos
Rectas Límites de una homología: Recta Límite es el lugar geométrico de los puntos cuyos homólogos están en el infinito. Son siempre paralelas al Eje de Homología. El conocimiento de una recta límite equivale al de dos rectas homólogas. Por tanto, una homología queda definida dando el centro, el eje y una recta límite.
La afinidad es una transformación geométrica, en el que el centro de afinidad se encuentre en el infinito.
Los elementos que intervienen en la afinidad son:
● El eje de afinidad
● Un par de puntos afines
Lo más importante, para evitar confundirlo con la Homología, es que la Afinidad se caracteriza por una dirección, es decir, que los puntos afines se encuentran sobre
rectas paralelas unas a otras. Se puede entender que en la Afinidad, el vértice se encuentra en el infinito y, por ello, se le considera un caso particular de Homología.